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CT und LGS

CT und LGS

Mathematisches Tomographenmodell

Grundlage

Jeder Röntgenstrahl lässt sich durch eine Geradengleichung beschreiben. Für jede solche "Röntgenstrahl-Gerade" kann leicht ermittelt werden, welche Zellen sie trifft und wie lang der in einer bestimmten Zelle zurückgelegte Weg ist. Vielleicht kennst du dich ja gut aus (falls nicht, siehe MathePrisma-Modul Geradengleichungen).

Wir beschränken uns zunächst auf eine Auflösung von 3 x 3, was zwar nicht in der Praxis aber für eine prinzipielle Betrachtung ausreicht.

Röntgenstrahlen durch Geradengleichungen beschreiben

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Getroffene Zellen und Weglängen

Gegeben sind 9 quadratische Zellen in der folgenden Anordnung

Frage 1:

Welche Zellen trifft der Strahl mit der Gleichung \(g(x) = x + 1\)?

Frage 2:

Wie groß sind die Weglängen in den getroffenen Zellen (näherungsweise Angaben als Dezimalzahl mit zwei Nachkommastellen - alle gleich groß)?  

Frage 3 (ab hier etwas schwieriger):

Welche Zellen trifft der Strahl mit der Gleichung \(\displaystyle g(x) = \frac 12x + 1\)?

Frage 4:

Wie groß sind die Weglängen in den getroffenen Zellen (gerundete Angabe mit zwei Nachkommastellen - alle gleich groß)?  

Frage 5 (es wird noch schwieriger):

Welche Zellen trifft der Strahl mit der Gleichung \(\displaystyle g(x) = \frac 23x + 1\)?

Frage 6:

Wie groß sind die Weglängen in den getroffenen Zellen (näherungsweise Angaben als Dezimalzahl, insgesamt gibt es zwei unterschiedliche Längen)?

Hilfe: Bestimme alle Schnittpunkte mit den Zellrändern und dann mit dem Satz des Pythagoras die Weglängen.

Die kleinere Länge ist (eine Nachkommastelle)   und die größere Länge ist (eine Nachkommastelle)  .

Du hast ? von 2 möglichen Punkten erreicht.

Fazit

Die von einem Röntgenstrahl getroffenen Zellen und die dazu gehörenden Weglängen in den einzelnen Zellen lassen sich einfach berechnen. Die verbleibende Strahlintensität \(I(d)\) wird jeweils durch eine Messung bestimmt.

einfach aber langwierig

In Anbetracht der Tatsache, dass man es in der Praxis mit sehr vielen Strahlen und wegen der Drehung mit noch mehr Geradengleichungen zu tun hat, muss die Berechnung der Treffer und Weglängen automatisch erfolgen. Im nächsten Abschnitt entwerfen wir einen Algorithmus, der diese Schritte ausführt.