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Arbeitsblatt: CT und LGS

Aufgabe 1

Begründe mit Hilfe der Logarithmengesetze (kannst du es auf zwei Arten?), dass gilt: \(ln 0.5 = - ln 2\)

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine 3 x 3-Zellanordnung.

  1. Die Gleichung eines Röntgenstrahls sei \(\displaystyle g(x) = \frac 23x+\frac 43\). Welche Zellen trifft der Strahl? Wie groß sind die Weglängen?

  2. Wie sieht nach dem auf Seite "Tomographenmodell 3" angegebenen Verfahren die Liste der Punkte aus, wenn der Strahl waagerecht entlang einer Zellrandlinie verläuft?

  3. Die Geradengleichungen für die Röntgenstrahlen werden mit dem Steigungsfaktor m aufgestellt, in der Modellmaschine wird immer der Winkel angezeigt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel und dem Steigungsfaktor?

Aufgabe 3

Beweise die Formel \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}i\cdot (i+2)=\frac{n(n-1)(2n+5)}{6}\) mittels vollständiger Induktion.

Aufgabe 4

Gegeben ist das folgende LGS:

\(x_1+x_2+x_3=36\)

\(x_1+x_2=26\)

\(x_2+x_3=24\)

\(x_1+x_3=22\)

  1. Löse das LGS mit dem Gaußverfahren.

  2. Löse das LGS mit dem vorgestellten iterativen Verfahren.

  3. Beweise für \(n=2\): Bei dem iterativen Verfahren wird die jeweils aktuelle Gleichung durch die Ausgleichsrechnung stets erfüllt.

Aufgabe 5*

Bezug: Seite "Iterationsverfahren 2" und Nebenpfad ßchneller als der Algorithmus von Gauß"

Zeige allgemein: Bei einer Zellanordnung von n x n Zellen kann ein Strahl höchstens 2n-1 Zellen treffen