Der Vorgang beruht auf zwei Ursache-Wirkungs-Beziehungen:
Für den Zusammenhang zwischen der Schachttiefe 
und der Wartezeit 
bis zur Ankunft des Geräusches am Startort gilt näherungsweise die Formel
![\[ T=\sqrt{\frac 15H}+\frac{1}{340}H \]](imgTT98.gif){kind=small} |
Die beiden Summanden geben die Fallzeit des Steins bzw. die Laufzeit des Schalls an. Wäre H bekannt, ließe sich sofort ausrechnen. Das ist die Lösung des direkten Problems.
Nun könnte es aber einen Grund geben, dass man die Tiefe des Schachts nicht direkt messen kann. In diesem Fall müsste man die Wartezeit messen und versuchen, die Formel nach H aufzulösen. Es ergibt sich
![\[ H=340\left(T+34-\sqrt{68T+1156}\right) \]](imgTT99.gif){kind=small} |
Das ist die Lösung des inversen Problems.
Ursache-Wirkungs-
Beziehung
Solche Probleme lassen sich allgemein durch den Zusammenhang
![\[y=Kx\]](imgTT100.gif){kind=small} |
beschreiben. Dabei denke man nicht an eine lineare Gleichung sondern an eine Operation 
, die eine Größe 
in die Größe 
transformiert.
stellt die Ursache dar und kann man sich als Wirkung vorstellen.
Definition
...und bei der CT?
direkt oder invers
Bei der Computertomographie handelt es sich um ein inverses Problem, da man die Gewebeschichten nicht direkt ausmessen kann, sondern darauf angewiesen ist, aus der gemessenen Abschwächungswirkung auf die durchstrahlten Gewebearten zu schließen.
direkt und einfach...
Inverse Probleme sind häufig schwieriger zu lösen. Aus dem Mathematikunterricht kennt man die folgende Aufgabe:
Gegeben sei ein Polynom 5. Grades. Der Koeffizient 
sei 1 und außerdem soll das Polynom die Nullstellen -2, -1, 1, 2 und 3 besitzen. Das direkte Problem, nämlich aus den bekannten Nullstellen auf die Gleichung zu schließen, lässt sich wie folgt bearbeiten:
Polynom
Das Ausmultiplizieren der Klammerausdrücke hättest du wahrscheinlich auch alleine geschafft.
...invers und schwierig...
Hättest du das inverse Problem, nämlich bei gegebenem Polynom die Nullstellen zu bestimmen, auch lösen können? Du hättest vermutlich darauf gehofft, dass die Nullstellen ganzzahlig sind und einen Versuch mit den Teilern des konstanten Gliedes unternommen. Danach hätte dich die Polynomdivision weitergebracht.
Die Lösung des inversen Problems erfordert in diesem Fall einen viel höheren Aufwand und die angedeutete Methode versagt bei einem Polynom wie 
, obwohl es ebenfalls 5 Nullstellen (nicht alle ganzzahlig!) besitzt und sich das direkte Problem nach wie vor bei Kenntnis der Nullstellen
wie vorher lösen ließe.
...oder gar unmöglich
In ungünstigen Fällen kann es auch sein, dass das inverse Problem keine eindeutige Lösung hat. Beispielsweise kann man zu jeder ganzen Zahl als Ürsache" direkt als "Wirkung" das Quadrat bilden, aber invers weiß man bei der "Wirkung" 25 nicht, ob die Ürsache" 5 oder -5 gewesen ist.
Nebenwirkungen
Bei der CT kann man nicht nur rechnen, man muss vorher messen. Jede Messung ist aber mit einem Fehler behaftet, den man prinzipiell nicht völlig eliminieren kann. Dieser Fehler kann sich durch die gegebenen Bedingungen bei der Lösung des inversen Problems aufblähen oder vermindern.
ill-posed
Ein inverses Problem heißt schlecht gestellt (im Engl.: ill-posed), wenn ein kleiner Messfehler zu einer großen Abweichung bei den Rechenergebnissen führt.
Zwischen dem direkten und dem inversen Problem besteht eine Art Unschärfe-Relation, die besagt: Je "gutartiger" das direkte Problem ist, desto "bösartiger" ist das inverse Problem.
Glücklicherweise ist das inverse Computertomographie-Problem nur "moderat schlecht gestellt", so dass man mit dieser Untersuchungsmethode bei angemessenem Aufwand hilfreiche Ergebnisse erhält.
einen Ursache-Wirkungs-Zusammenhang, so nennt man die Aufgabe, zu einer gegebenen Ursache