Keine Probleme mit LGS
Wenn sich die Messeinrichtung um den Patienten dreht, werden die Intensitäten der Strahlen nach dem Durchgang durch die Zellanordnung gemessen. Für jeden Strahl und für jede Richtung wird über die Tomographenformel eine lineare Gleichung aufgestellt, die als Unbekannte die Absorptionskoeffizienten der vom Strahl getroffenen Zellen enthält.
Es entsteht ein lineares Gleichungssystem (LGS). Wenn man genügend Gleichungen besitzt, ist die Durchleuchtung einer Schicht abgeschlossen und der Computer muss die Lösung des LGS und damit die Absorptionskoeffizienten bestimmen. Diese Dichtewerte stellt man als Farbwert entsprechender Helligkeit dar und erhält so ein Bild der Schicht.
Kernfrage
Wie viele Gleichungen sind genügend Gleichungen?
K(l)eine Probleme mit LGS
Für n x n Zellen brauchen n x n Gleichungen nicht auszureichen. Wir sehen uns eine Anordnung mit nur 2 x 2 Zellen an. Die eingezeichneten Strahlen liefern die bereits logarithmierten Messwerte 
bis 
und bei Treffern die Weglängen 
.
Mehraufwand
Die sich aus der Messanordnung ergebenden Abhängigkeiten der Strahlgleichungen führen dazu, dass man für eine eindeutige Lösung mehr Gleichungen benötigt, als Unbekannte vorhanden sind. Bei einer praktisch üblichen Auflösung von 512 x 512 Zellen (= 262 144 unbekannte Absorptionskoeffizienten 
) können über 400 000 Gleichungen erforderlich sein.
Computerhilfe
Glücklicherweise ist es nicht notwendig, die Anzahl der Messungen exakt so festzulegen, dass sich letztlich genauso viele unabhängige Gleichungen ergeben, wie Unbekannte vorhanden sind. Man kann durchaus mehr Messwerte aufnehmen und eine sogenannte Überbestimmtheit des Systems zulassen. Das erweist sich sogar als Vorteil bei der Lösungsbestimmung. Die zusätzlichen Gleichungen verursachen keine Widersprüche.
Solch große lineare Gleichungssysteme können nur mit Hilfe von Computern bewältigt werden. Bei der Suche nach einem leicht zu programmierenden Verfahren stößt man zuerst auf den
Gaußschen Algorithmus (Gaußsches Eliminationsverfahren).
Der Nebenpfad liefert eine formale Beschreibung der Grundidee.
Nächste Frage
Welchen Aufwand an Rechenschritten verursacht das Gaußverfahren?
