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Craps

Craps

Markow-Ketten

Markow-Ketten

Eine interessante Variante zur Berechnung der Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit beim Craps bieten die Markow-Ketten.

Definition

Eine Markow-Kette ist ein stochastischer Prozess, d.h. eine Folge von Zufallsversuchen, die durch verschiedene Zustände beschrieben werden.

Dabei ist die Übergangswahrscheinlichkeit \(\mathrm{p_{ij}}\), also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von \(\mathrm{Z_j}\) in den Zustand \(\mathrm{Z_i}\) gewechselt wird, eindeutig festgelegt.

Zustände



Wie waren noch mal die Spielregeln?

Das Spiel Craps kann man also in fünf verschiedene Zustände \(\mathrm{Z_1}\), \(\mathrm{Z_2}\), \(\mathrm{Z_3}\), \(\mathrm{Z_4}\) und \(\mathrm{Z_5}\) einteilen.

Nr. 1 2 3 4 5
Zustand gewonnen 4 oder 10 5 oder 9 6 oder 8 verloren

Im Kapitel "Der erste Wurf" haben wir die Wahrscheinlichkeiten \(\mathrm{a_i}\), mit denen das Spiel zu Beginn in einen der fünf möglichen Zustände eintritt, berechnet:

Zustand Nr. 1 2 3 4 5
Wahrscheinlichkeit a1=2/9 a2=1/6 a3=2/9 a4=5/18 a5=1/9

Der Anlaufvektor

Diese fassen wir nun zum sogenannten Anlaufvektor zusammen.

Nr. Zustand

     Wahrsch. 
  nach 1. Wurf
1 gewonnen
2 4 oder 10
3 5 oder 9
4 6 oder 8
5 verloren

Gewinnst oder verlierst du häufiger?

Wir testen, ob es bei einmal Würfeln wirklich doppelt so wahrscheinlich ist zu gewinnen (2/9) wie zu verlieren (1/9). Außerdem kannst du per Augenmaß die anderen Anlaufwahrscheinlichkeiten überprüfen.

Per Knopfdruck wird einmal, fünfmal oder zwanzigmal der erste Wurf untersucht.

  • Die roten Balken geben die Häufigkeit der Zustände "4 oder 10", "5 oder 9" und "6 oder 8" an.
  • Der gelbe Balken gibt die Anzahl der gewonnen Spiele an.
  • Der schwarze Balken gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an.