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Markow-Ketten

Übergänge vom Zustand 4
"6 oder 8"

Zu guter Letzt fehlen noch die Übergangswahrscheinlichkeiten aus dem Zustand \(\mathrm{Z_4}\) ("6 oder 8").

Wer das Schema bereits verinnerlicht hat, kann auch direkt auf der nächsten Seite weitermachen.

Zustand vorher
Zustand      
nachher      
  1 2 3 4 5
1 1 1/12 1/9 p14 0
2 0 3/4 0 p24 0
3 0 0 13/18 p34 0
4 0 0 0 p44 0
5 0 1/6 1/6 p54 1

Ein Spieler, der im Zustand \(\mathrm{Z_4}\) ("6 oder 8") startet, kann die Zustände \(\mathrm{Z_2}\) und \(\mathrm{Z_3}\) nicht mehr erreichen. Daher muss gelten:
p24   =  p34 =                     

Um in den Zustand 1 ("gewonnen") überzugehen, muss der Spieler (abhängig von seinem ersten Wurf) entweder die Augensumme "6" oder die Augensumme "8" werfen. Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Wurf ist:
p14 = 
                   

Bei einer "7" verliert er. Das passiert mit der Wahrscheinlichkeit:
p54 = 
    =
                   

Die Wahrscheinlichkeit für das Verweilen im Zustand \(\mathrm{Z_4}\) kannst du nun noch nach der Spaltenregel bestimmen.

p44 = 1   -   p14    -   p24    -   p34    -   p54
p44 = 1   -  
    -       -       -  
 = 
         

Die letzte Spalte ist vollständig.

Zustand vorher
Zustand      
nachher      
  1 2 3 4 5
1 1 1/12 1/9 5/36 0
2 0 3/4 0 0 0
3 0 0 13/18 0 0
4 0 0 0 25/36 0
5 0 1/6 1/6 1/6 1