Zufallszahlen | MathePrisma

Beispiel

Das Weyl-Kriterium soll jetzt an einem einfachen Beispiel erprobt werden. Sei $\alpha\in\mathbb{R}$ irrational. Für die Folge $(\alpha n)_{n\ge 1}$ weisen wir die Gleichverteilung modulo $1$ nach.

Abschätzung

Für $h\in \mathbb{Z}\setminus{0}$ und $N\in \mathbb{N}$ gilt nach der Formel für geometrische Summen

$\begin{equation*} \displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N e^{2\pi ih\alpha n} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \big( e^{2\pi ih\alpha}\big)^n = \frac{1}{N} \underbrace{\frac{\big(e^{2\pi ih\alpha}\big)^{N+1}-e^{2\pi ih\alpha}}{e^{2\pi ih\alpha}-1}}_{(\ast)} . \end{equation*}$

Der Nenner in $(\ast)$ verschwindet nicht, weil $\alpha$ irrational ist. Der Zähler ist durch $2$ beschränkt. Daher ist der Quotient $(\ast)$ beschränkt durch die von $N$ unabhängige Konstante

$\begin{equation*} \displaystyle \frac{2}{\big|e^{2\pi ih\alpha}-1\big|} . \end{equation*}$

Wegen des Faktors $1/N$ gilt daher

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ih\alpha n}=0 . \end{equation*}$