MathePrisma Logo

Zufallszahlen

Zufallszahlen

Kronecker-Folgen II

Beispiel

Für den speziellen Folgentyp \((\alpha n)_{n\ge 1}\) kann die Konvergenz-Geschwindigkeit von \((D_N^\ast)_{N\ge 1}\) durch arithmetische Eigenschaften von \(\alpha\) charakterisiert werden ([19], Chapter 2, Section 3). Dazu brauchen wir zwei Definitionen.

Definition

Für \(x\in\mathbb{R}\) sei

\begin{equation*} \displaystyle \|x\|:=\min_{n\in\mathbb{Z}}|x-n| \end{equation*}

der Abstand von x zur nächsten ganzen Zahl.

Definition

Für \(\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) heißt

\begin{equation*} \displaystyle \eta:=\inf\Bigl\lbrace \delta>0\,\Big|\,\inf_{q\in\mathbb{N}}\|q\alpha\|q^\delta>0\Bigr\rbrace \end{equation*}

der Typ von \(\alpha\).

Nach dem Dirichlet'schen Approximationssatz ist

\begin{equation*} \displaystyle \inf_{q\in\mathbb{N}}\|q\alpha\|q^\delta=0 \end{equation*}

für jedes \(\delta<1\). Daher ist \(\eta\ge 1\).