Zufallszahlen | MathePrisma

Ziel

Wir wollen jetzt die Problematik des Begriffs "Zufallsfolge" beleuchten. Dazu muß zunächst der Begriff der Gleichverteilung auf mehrdimensionale Folgen verallgemeinert werden.

Definition

Eine vektorwertige Folge $(\vec{x}_n)_{n\ge 1}$ im $\mathbb{R}^s$ heißt gleichverteilt modulo 1, wenn für alle $0\le a_\sigma<b_\sigma \le 1$ , $1\le \sigma\le s$ , gilt

$\begin{equation*} \lim_{N\to \infty}\frac{1}{N}\biggl\lbrace 1\le n\le N\,\Big| \, {x_{n1}}\in[a_1,b_1), ..., {x_{ns}}\in[a_s,b_s)\biggr\rbrace = (b_1-a_1)\cdots(b_s-a_s) . \end{equation*}$

Deutung

Zum Beispiel bedeutet das für $s=2$ , daß für großes $N$ ungefähr der durch den Flächeninhalt des Quadrats $[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)$ gegebene Prozentsatz aller Paare

$\begin{equation*} ({x_{11}},{x_{12}}), ..., ({x_{N1}},{x_{N2}}) \end{equation*}$

in diesem Quadrat liegt.