Zufallszahlen | MathePrisma

Definition

Eine Folge $x_1, x_2, ...$ reeller Zahlen heißt dicht modulo 1, falls die Folge ${x_1}, {x_2}, ...$ der Nachkommaanteile dicht im Einheitsintervall $[0,1]$ liegt.

Mit anderen Worten: Zu zwei Zahlen $0\le a<b\le 1$ gibt es stets einen Index $n \in \mathbb{N}$ mit ${x_n}\in [a,b]$ .

Beispiel

Für irrationales $\alpha$ ist die Folge

$\begin{equation*} \alpha, 2\alpha, 3\alpha,... \end{equation*}$

dicht modulo 1. Das ist der Approximationssatz von Kronecker.

Deutung

Anschaulich besagt er, daß eine Person mit irrationaler Schrittlänge $\alpha$ , die einen Kreis mit Umfang $1$ abschreitet, früher oder später in jedes noch so kleine Loch auf der Peripherie treten wird. Demo

Kann man etwas über die Häufigkeit des Hineintretens sagen?

Animation