Experiment 1

wiederholt eine bekannte Situation, nämlich die Iteration mit einer einzigen zentrischen Streckung. Wenn man nichts verändert hat, sieht man die ersten 10 Bildpunkte. Entferne die Markierung "Startpunkte anzeigen" und verändere danach auch die Anzahl der Iterationen.

Wie erklärst du deine Beobachtungen?

Experiment 2

zeigt erstmals die Verwendung von zwei Abbildungen in einem IFS. Es handelt sich um zwei zentrische Streckungen mit kleinen Unterschieden. Die Bildpunkte werden farbig gekennzeichnet, je nachdem, von welcher der Abbildungen sie gerade erzeugt wurden. Führe den Versuch mit wenigen und vielen Iterationen sowie mit und ohne sichtbare Startpunkte aus. Verschiebe auch die Fixpunkte.

Der Attraktor in Versuch 1 war nur ein einziger Punkt. Wie sieht jetzt der Attraktor aus?

Experiment 3

zeigt dramatische Veränderungen. Eine Linie als Attraktor wie in Versuch 2 ist nicht gerade aufregend und kann kaum als fraktale Grafik gelten. Das IFS wird nur geringfügig verändert: Eine der beiden zentrischen Streckungen wird gegen eine Drehstreckung ausgetauscht. Erhöhe die Anzahl der Iterationen und beachte nochmals die Startpunkte (ein- und ausblenden).

Wie kann man die neue Qualität des Attraktors erklären?

Experiment 4

Das Ergebnis unterscheidet sich kaum von seinem Vorgänger. Lediglich der Winkel der Drehstreckung wurde vergrößert. Benutze eine hohe Zahl von Iterationen.

Welchen Einfluss hat die Lage der Fixpunkte auf die Attraktorfigur?

Ergebnis 1

Die Zentrische Streckung hat einen Streckfaktor kleiner als 1, also strebt die Folge der Bildpunkte gegen den Fixpunkt. Nach wenigen Iterationen wird der Fixpunkt im Rahmen der Auflösung erreicht, so dass nur dieser allein sichtbar ist, wenn man die ersten 50 Punkte ausblendet und 100 Iterationen ausführen lässt. Wenn man die Startpunkte unterdrückt, ist bei 10 Iterationen kein einziger Punkt zu sehen.

Ergebnis 2

Der Attraktor eines IFS aus zwei kontrahierenden Zentrischen Streckungen ist eine Linie zwischen den beiden Fixpunkten. Wenn dieser Attraktor im Rahmen der Auflösung einmal erreicht ist, kann er von der Bildpunktefolge nicht mehr verlassen werden, weil beide Zentrische Streckungen den Folgepunkt in Richtung auf ihren jeweiligen Fixpunkt ziehen. Da eine Zufallsauswahl erfolgt, bewegen die Abbildungen die Folgepunkte zwischen ihren Zentren hin und her, so dass eine Linie ausgebildet wird. Mit der Zahl der Iterationen wird die Linie deutlicher. Liegt der ursprüngliche Startpunkt außerhalb des Attraktors, wird der Abstand zu einem der Fixpunkte und damit auch zu der Linie verkürzt, so dass der Attraktor nach wenigen Iterationen praktisch erreicht wird. Bei ausgeblendeten Startpunkten ist die Bildpunktefolge, die noch außerhalb der Linie liegt, unsichtbar.

Ergebnis 3

Das kontrahierende IFS aus einer Zentrischen Streckung und einer Drehstreckung bildet wieder einen Attraktor aus. Dieser spannt sich zwischen den beiden Streckzentren auf. Es entsteht jedoch keine Linie, da der drehende Anteil der Drehstreckung stets dafür sorgt, dass sich Bildpunkte drehend von der gedachten Linie entfernen. Die komplexe Struktur des Attraktors zeigt jetzt die Selbstähnlichkeitseigenschaften eines Fraktals; kleine Bereiche haben die gleiche Form wie das ganze Gebilde. An den Farben sieht man, dass Teile des Fraktals vollständig von jeweils einer der beiden Abbildungen erzeugt werden, obwohl sie zufällig abwechselnd zum Einsatz kommen. Nur wenige der ersten 50 Punkte liegen außerhalb des Attraktors.

Ergebnis 4

Wegen des größeren Drehwinkels entfernen sich einige Bildpunkte stärker von der gedachten Linie zwischen den beiden Fixpunkten. Wenn man die Fixpunkte bewegt, erkennt man aber, dass die Linie die Hauptachse des Gebildes bleibt. Wenn man diese Achse dreht, bleibt die ursprüngliche Struktur erhalten. Mit dem Abstand der Fixpunkte zueinander bestimmt man die Größe der fraktalen Grafik; ein geringerer Fixpunktabstand erzeugt also eine kleinere Figur.