Fraktale und Chaosspiel
"Mit Würfeln zu Fraktalen Welten"
Autor(en): Ulrich Schwebinghaus, Benedikt Großer - März 2000
Kapitelübersicht
Einleitung
Grundbegriffe
Abbildungen
Chaosspiel
Punkte zählen, Quellen sichten
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
Zeichne eine (exakt) selbstähnliche Schneeflocke.
Aufgabe 2
- a) Berechne mit dem Heron-Verfahren die Quadratwurzel aus 9.
- b) Wie viele Iterationen benötigst du in a), wenn du 0.1 als Startwert wählst?
- c) Warum ist der Startwert 0 ungeeignet?
- d) Löse folgende Gleichung nach
auf. Welche Folgerung ziehst du?
Aufgabe 3
- a) Wie lautet die Abbildung, die eine Drehung um 45° mit dem Koordinatenursprung als Fixpunkt beschreibt?
- b) Zeichne die Punkte
und 
in ein Koordinatensystem. Wo liegen die Bildpunkte von 
und 
mit der Abbildung aus a)?
- c) Wie lautet die Abbildung, bei der das Drehzentrum nicht im Ursprung, sondern im Punkt
liegt?
- d) Eine Abbildungsmatrix sei gegeben durch
. Was sind die Bildpunkte von 
, 
und 
?
- e) Zeige, dass für die Matrix
einer Kongruenzabbildung 
gilt.
Aufgabe 4
- a) Wie lautet die Abbildung einer Drehung um 45° mit einem Streckfaktor von 0.5? Wende diese Abbildung auf folgende Figur (Proberechteck) an:
- b) Ist die Abbildung nach a) kontrahierend (mit Nachweis)?
- c) Eine Abbildung sei gegeben durch . Wende diese Abbildung auf das Proberechteck an.
- d) Ist die Abbildung nach c) kontrahierend?
Aufgabe 5
Schreibe die Matrix einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor 0,5 auf. Tipp: Drehwinkel 0.
Aufgabe 6
- a) Konstruiere mit verkleinerten Bildquadraten ein IFS aus vier kontrahierenden zentrischen Streckungen, das ein ausgefülltes Quadrat als Attraktor besitzt (siehe Collage-Theorem).
- b) Gib die Funktionen
des IFS aus a) an.
- c) Stelle eine begründete Vermutung darüber auf, wie sich der Attraktor verändert, wenn der Kontraktionsfaktor einer der Funktionen etwas verkleinert wird.
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Inhalt
Dieses Modul stellt den Fraktalbegriff vor und arbeitet einige geometrische Aspekte der Erzeugung von fraktalen Grafiken heraus. Es wird schrittweise der Aufbau von Fraktalen mit Hilfe von Iterierten Funktionen-Systemen (IFS) im Chaosspielverfahren hergeleitet. Die mathematischen Werkzeuge
Rückkopplung
Affine Abbildungen
Geometrische Iteration
IFS und Chaosspiel
werden dazu vorgestellt. Dabei lassen wir viel Raum für Experimente am Rechner. Eine Vielzahl von externen Links zur Vertiefung von Begriffen wie Selbstähnlichkeit oder Naturbezügen runden das Modul ab.
Glossar
