Arbeitsblatt: Fraktale und Chaosspiel

Aufgabe 1

Zeichne eine (exakt) selbstähnliche Schneeflocke.

Aufgabe 2

• a) Berechne mit dem Heron-Verfahren die Quadratwurzel aus 9.
• b) Wie viele Iterationen benötigst du in a), wenn du 0.1 als Startwert wählst?
• c) Warum ist der Startwert 0 ungeeignet?
• d) Löse folgende Gleichung nach auf. Welche Folgerung ziehst du?
  
  

Aufgabe 3

• a) Wie lautet die Abbildung, die eine Drehung um 45° mit dem Koordinatenursprung als Fixpunkt beschreibt?
• b) Zeichne die Punkte und in ein Koordinatensystem. Wo liegen die Bildpunkte von und mit der Abbildung aus a)?
• c) Wie lautet die Abbildung, bei der das Drehzentrum nicht im Ursprung, sondern im Punkt liegt?
• d) Eine Abbildungsmatrix sei gegeben durch . Was sind die Bildpunkte von , und ?
• e) Zeige, dass für die Matrix einer Kongruenzabbildung gilt.

Aufgabe 4

• a) Wie lautet die Abbildung einer Drehung um 45° mit einem Streckfaktor von 0.5? Wende diese Abbildung auf folgende Figur (Proberechteck) an:

  

• b) Ist die Abbildung nach a) kontrahierend (mit Nachweis)?
• c) Eine Abbildung sei gegeben durch . Wende diese Abbildung auf das Proberechteck an.
• d) Ist die Abbildung nach c) kontrahierend?

Aufgabe 5

Schreibe die Matrix einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor 0,5 auf. Tipp: Drehwinkel 0.

Aufgabe 6

• a) Konstruiere mit verkleinerten Bildquadraten ein IFS aus vier kontrahierenden zentrischen Streckungen, das ein ausgefülltes Quadrat als Attraktor besitzt (siehe Collage-Theorem).
• b) Gib die Funktionen des IFS aus a) an.
• c) Stelle eine begründete Vermutung darüber auf, wie sich der Attraktor verändert, wenn der Kontraktionsfaktor einer der Funktionen etwas verkleinert wird.