Genetik | MathePrisma

Genetik

Hardy-Weinberg-Gesetz

Einleitung

ein Merkmalpaar

Mathematisch

zwei Merkmalpaare

Hardy-Weinberg

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(Vererbung bei Erbsen, ein Merkmalpaar)

a) Zeichnen Sie jeweils einen Ergebnisbaum für die beiden zweistufigen Zufallsexperimente:

1.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (CC) mit der reinerbigen Sorte (cc)
2.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (cc) mit der hybriden Sorte (Cc)

b) Geben Sie in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse "der Nachkomme ist grün" und "der Nachkomme ist ein Hybride" an.

Aufgabe 2

(dreimaliges Würfeln)

Betrachtet wird das dreistufige Zufallsexperiment "dreimaliges Würfeln".

a) Wie groß ist die Ergebnismenge?

b) Aus welchen Ergebnissen setzen sich die Ereignisse

1.) mindestens 2 Sechsen,
2.) alle drei Augenzahlen sind gleich,
3.) die Summe der Augenzahlen ist kleiner als 10

zusammen?

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die drei Ereignisse aus b) für einen ungezinkten Würfel (jede der Augenzahlen von 1 bis 6 besitzt Wahrscheinlichkeit 1/6).

d) Bearbeiten Sie c) für einen gezinkten Würfel, bei dem die Augenzahlen 2 bis 5 mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auftreten, die Augenzahl 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/12 und die Augenzahl 6 mit Wahrscheinlichkeit 1/4.

Aufgabe 3

(Hardy-Weinberg-Gesetz)

a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten in der zweiten Generation, wenn in der ersten Generation p=1/8, q=1/2, r=3/8 gilt. Wie groß sind die relativen Häufigkeiten in der dritten Generation?

b) Sind die relativen Häufigkeiten p=1/5, q=2/5, r=2/5 in der zweiten Generation möglich?

c) Geben Sie 6 verschiedene Kombinationen für mögliche relative Häufigkeiten p, q und r der zweiten Generation an. Begründen Sie Ihre Antwort.

d) Finden Sie einen (wesentlich) einfacheren Beweis für $r' = (q'/2 + r')^2$ als den im Modul angegebenen.

Aufgabe 4

(mehrere Merkmalpaare)

Bei Erbsen kann man neben dem Merkmalpaar "Farbe" (gelb = C, grün = c) ein zweites Merkmalpaar "Form" (rund = F, eckig = f) betrachten. Dabei dominiert F über f.

a) Wir kreuzen zwei Hybride (CcFf) miteinander. In welchem Verhältnis treten die Ausprägungen "gelb und rund", "gelb und eckig", "grün und rund" und "grün und eckig" dann auf?

Als ein zusätzliches drittes Merkmalpaar nehmen wir jetzt noch den "Geschmack" (süß = G, mehlig = g) hinzu.

b) Wie viele verschiedene Ausprägungen gibt es jetzt?

c) In welchem Verhältnis treten diese bei der Kreuzung zweier Hybride (CcFfGg) auf?

Aufgabe 5

(Erbsen züchten)

Wir betrachten wieder Erbsen mit dem Merkmalpaar gelb = C, grün = c. Wir stellen die Frage, wie man reinerbige Erbsen bekommen kann.

a) Ein Gärtner kann Allele nicht direkt sehen. Weshalb kann er aber reinerbige Erbsen vom Typ (cc) einfach erkennen, reinerbige vom Typ (CC) dagegen nicht?

Um reinerbige Erbsen vom Typ (CC) zu züchten, geht ein Gärtner folgendermaßen vor: Er pflanzt eine Generation gelber Erbsen. Wenn diese Früchte tragen, vernichtet er die grünen und pflanzt die gelben als nächste Generation ein. Dieses Vorgehen wiederholt er immer wieder. Rottet er auf diese Art die Hybriden vom Typ (Cc) allmählich aus?

Betrachten Sie zur Beantwortung dieser Frage das Züchten einer neuen Generation als dreistufiges Zufallsexperiment:

Stufe 1: Auswahl des ersten Partners (vom Typ (CC) oder (Cc))
Stufe 2: Auswahl des zweiten Partners (vom Typ (CC) oder (Cc))
Stufe 3: Kreuzen der beiden Partner

Wir bezeichnen die relative Häufigkeit des Typs (CC) mit a, die von Typ (Cc) mit b. Natürlich gilt a+b = 1.

b) Ergänzen Sie im obigen Wahrscheinlichkeitsbaum die Wahrscheinlichkeiten für die dritte Stufe. Zeigen Sie dann, dass für die neue Generation gilt:

p(CC) $= (a + b/2)^2 = (1-b/2)^2$
p(Cc) $= b(a+b/2) = b(1-b/2)$
p(cc) $= b^2/4$

Prüfen Sie nach, dass p(CC) + p(Cc) + p(cc) = 1 git.

c) Nach dem Vernichten der grünen Erbsen (Typ (cc)) ändern sich die relativen Häufigkeiten für die Typen (CC) und (Cc) in

a $_2$ = p(CC)/(1-p(cc)), b $_2$ = p(Cc)/(1-p(cc)).

Zeigen Sie:

a $_2$ = (1-b/2)/(1+b/2), b $_2$ = b/(1+b/2).

d)* Begründen Sie mit dem bisher Gezeigten, weshalb in jeder neuen Generation die relative Häufigkeit der Hybride (Cc) abnimmt. Wird der Typ (Cc) also schließlich ausgerottet?

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Wir betrachten hier wieder nur ein Merkmalpaar mit zugehörigen Allelen A und a. In der Natur kommt dann jeder Genotyp (AA), (Aa), (aa) mit einer bestimmten relativen Häufigkeit vor.

Wir fragen nun nach der relativen Häufigkeit der Genotypen in der Nachfolgegeneration. Wird z.B. ein seltener Genotyp immer seltener? Stirbt er vielleicht sogar langsam aus?

Probieren Sie es doch einmal selbst aus!

wie die zweite Generation entsteht

Wir können das ausrechnen! Ausgehend von vorgegebenen Häufigkeiten für die erste Generation berechnen wir die Häufigkeiten für die zweite Generation als das Ergebnis eines 3-stufigen Zufallsexperimentes. Die Stufen sind:

Auswahl des Genotyps des ersten Partners (hängt von dessen Häufigkeit ab)
Auswahl des Genotyps des zweiten Partners (hängt genauso von dessen Häufigkeit ab)
Auswahl des Nachkommen durch Kreuzung (hängt nur von den Genotypen der beteiligten Partner ab)

Wir benutzen wieder einen Wahrscheinlichkeitsbaum.

Und jetzt geht's zur dritten Generation. Dazu muss man die gleiche Rechnung mit den soeben berechneten Häufigkeiten für die zweite Generation durchführen.

Setzen Sie also in der grauen Leiste ein:

für p den berechneten Wert P(AA),
für q den berechneten Wert P(Aa),
für r den berechneten Wert P(aa)

verblüffend!

und lassen Sie die neuen Häufigkeiten ausrechnen. Was fällt auf? Testen Sie auch andere Häufigkeiten für die erste Generation.