Genetik

Hardy-Weinberg-Gesetz

Einleitung

ein Merkmalpaar

Mathematisch

zwei Merkmalpaare

Hardy-Weinberg

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(Vererbung bei Erbsen, ein Merkmalpaar)

a) Zeichnen Sie jeweils einen Ergebnisbaum für die beiden zweistufigen Zufallsexperimente:

1.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (CC) mit der reinerbigen Sorte (cc)
2.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (cc) mit der hybriden Sorte (Cc)

b) Geben Sie in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse "der Nachkomme ist grün" und "der Nachkomme ist ein Hybride" an.

Aufgabe 2

(dreimaliges Würfeln)

Betrachtet wird das dreistufige Zufallsexperiment "dreimaliges Würfeln".

a) Wie groß ist die Ergebnismenge?

b) Aus welchen Ergebnissen setzen sich die Ereignisse

1.) mindestens 2 Sechsen,
2.) alle drei Augenzahlen sind gleich,
3.) die Summe der Augenzahlen ist kleiner als 10

zusammen?

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die drei Ereignisse aus b) für einen ungezinkten Würfel (jede der Augenzahlen von 1 bis 6 besitzt Wahrscheinlichkeit 1/6).

d) Bearbeiten Sie c) für einen gezinkten Würfel, bei dem die Augenzahlen 2 bis 5 mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auftreten, die Augenzahl 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/12 und die Augenzahl 6 mit Wahrscheinlichkeit 1/4.

Aufgabe 3

(Hardy-Weinberg-Gesetz)

a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten in der zweiten Generation, wenn in der ersten Generation p=1/8, q=1/2, r=3/8 gilt. Wie groß sind die relativen Häufigkeiten in der dritten Generation?

b) Sind die relativen Häufigkeiten p=1/5, q=2/5, r=2/5 in der zweiten Generation möglich?

c) Geben Sie 6 verschiedene Kombinationen für mögliche relative Häufigkeiten p, q und r der zweiten Generation an. Begründen Sie Ihre Antwort.

d) Finden Sie einen (wesentlich) einfacheren Beweis für $r' = (q'/2 + r')^2$ als den im Modul angegebenen.

Aufgabe 4

(mehrere Merkmalpaare)

Bei Erbsen kann man neben dem Merkmalpaar "Farbe" (gelb = C, grün = c) ein zweites Merkmalpaar "Form" (rund = F, eckig = f) betrachten. Dabei dominiert F über f.

a) Wir kreuzen zwei Hybride (CcFf) miteinander. In welchem Verhältnis treten die Ausprägungen "gelb und rund", "gelb und eckig", "grün und rund" und "grün und eckig" dann auf?

Als ein zusätzliches drittes Merkmalpaar nehmen wir jetzt noch den "Geschmack" (süß = G, mehlig = g) hinzu.

b) Wie viele verschiedene Ausprägungen gibt es jetzt?

c) In welchem Verhältnis treten diese bei der Kreuzung zweier Hybride (CcFfGg) auf?

Aufgabe 5

(Erbsen züchten)

Wir betrachten wieder Erbsen mit dem Merkmalpaar gelb = C, grün = c. Wir stellen die Frage, wie man reinerbige Erbsen bekommen kann.

a) Ein Gärtner kann Allele nicht direkt sehen. Weshalb kann er aber reinerbige Erbsen vom Typ (cc) einfach erkennen, reinerbige vom Typ (CC) dagegen nicht?

Um reinerbige Erbsen vom Typ (CC) zu züchten, geht ein Gärtner folgendermaßen vor: Er pflanzt eine Generation gelber Erbsen. Wenn diese Früchte tragen, vernichtet er die grünen und pflanzt die gelben als nächste Generation ein. Dieses Vorgehen wiederholt er immer wieder. Rottet er auf diese Art die Hybriden vom Typ (Cc) allmählich aus?

Betrachten Sie zur Beantwortung dieser Frage das Züchten einer neuen Generation als dreistufiges Zufallsexperiment:

Stufe 1: Auswahl des ersten Partners (vom Typ (CC) oder (Cc))
Stufe 2: Auswahl des zweiten Partners (vom Typ (CC) oder (Cc))
Stufe 3: Kreuzen der beiden Partner

Wir bezeichnen die relative Häufigkeit des Typs (CC) mit a, die von Typ (Cc) mit b. Natürlich gilt a+b = 1.

b) Ergänzen Sie im obigen Wahrscheinlichkeitsbaum die Wahrscheinlichkeiten für die dritte Stufe. Zeigen Sie dann, dass für die neue Generation gilt:

p(CC) $= (a + b/2)^2 = (1-b/2)^2$
p(Cc) $= b(a+b/2) = b(1-b/2)$
p(cc) $= b^2/4$

Prüfen Sie nach, dass p(CC) + p(Cc) + p(cc) = 1 git.

c) Nach dem Vernichten der grünen Erbsen (Typ (cc)) ändern sich die relativen Häufigkeiten für die Typen (CC) und (Cc) in

a $_2$ = p(CC)/(1-p(cc)), b $_2$ = p(Cc)/(1-p(cc)).

Zeigen Sie:

a $_2$ = (1-b/2)/(1+b/2), b $_2$ = b/(1+b/2).

d)* Begründen Sie mit dem bisher Gezeigten, weshalb in jeder neuen Generation die relative Häufigkeit der Hybride (Cc) abnimmt. Wird der Typ (Cc) also schließlich ausgerottet?

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das Gesetz

Die Tests der vorangehenden Seite ergaben:

Von der ersten auf die zweite Generation können sich die relativen Häufigkeiten ändern.
Von der zweiten auf die dritte (und damit jede weitere) Generation ändern sich die relativen Häufigkeiten nicht mehr.

Das ist nicht nur für die gerade getesteten Werte so, sondern gilt allgemein.

Hardy-Weinberg-Gesetz:

Ab der zweiten Generation bleiben die relativen Häufigkeiten der Genotypen unverändert.

Das Gesetz wurde 1908 von dem britischen Mathematiker G.H. Hardy (*1877, +1947) und dem deutschen Biologen W. Weinberg (*1862, +1937) unabhängig voneinander gefundenen.

Wir wollen das Hardy-Weinberg-Gesetz jetzt beweisen. Was ist zu tun?

Wir starten mit beliebigen relativen Häufigkeiten p, q, r für die Genotypen der ersten Generation,
berechnen daraus die der zweiten Generation,
daraus die der dritten
und zeigen dann, dass diese gleich sind.