Gierige Methoden | MathePrisma

Gierige Methoden

Huffman-Codes

Sudokus

Wechselgeld

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Arbeitsblatt

Aufgabe 1

a) Wir betrachten einen Münzsatz mit 5 Münzen mit den Werten

w(1) = 16, w(2) = 8, w(3) = 4, w(4) = 2, w(5) = 1.
Zeige, dass die gierige Strategie für das Wechselgeldproblem hier stets eine minimale Zahl von Münzen ergibt.
b) Verallgemeinere die Untersuchung von a) für den Fall, dass n Münzen mit den Werten

$w(1) = b^{n-1}, w(2) = b^{n-2}, ..., w(n-1) = b^{1}, w(n) = b^{0}$

vorliegen. Dabei ist $b$ eine ganze Zahl $\geq 2$ .

Aufgabe 2

Man kann jeden Bruch $\displaystyle \frac{p}{q}$ mit $1\leq p \leq q$ als sog. ägyptischen Bruch darstellen, d.h.

$\frac{p}{q} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + ... + \frac{1}{q_n}.$

Dabei sind die Nenner $q_i$ paarweise verschiedene natürliche Zahlen. Die Anzahl $n$ der Glieder hängt von $p$ und $q$ ab.
a) Beschreibe einen auf einer gierigen Strategie beruhenden Algorithmus, welcher für gegebenes $p$ und $q$ die Nenner $q_i$ in der Darstellung als ägyptischer Bruch bestimmt.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 3

Auf einer sehr langen Autofahrt (z.B. von Wuppertal nach Wladiwostok) soll möglichst selten zum Tanken angehalten werden. Die Tankstellen entlang der Strecke sind mit T(i) durchnummeriert. Folgendes ist bekannt:

Das Auto besitzt den konstanten Benzinverbrauch v.
Tankstelle T(i) befindet sich an Streckenkilometer d(i)..
Der Tank besitzt einen Inhalt I.

a) Beschreibe eine gierige Strategie zur Lösung dieser Aufgabe.
b) Wie lauten hier die Eigenschaften der gierigen Wahl und der optimalen Teilstruktur?

Aufgabe 4

a) Führe alle Schritte des Huffman-Algorithmus für den nachstehenden Zeichensatz mit den angegebenen Häufigkeiten aus:

	Zeichen z	a	i	o	l	k	n	t
	h(z)	11	6	5	9	3	4	4

b) Gib mit dem in a) berechneten Codierungsbaum die Codierungen für die Wörter "koala", "aioli" und "koalition" an.

c) Wie groß ist die gewichtete externe Pfadlänge des Codierungsbaums aus a)?

Aufgabe 5

Beim Nachweis der Eigenschaft der gierigen Wahl auf der Seite Huffman-Codes 4 hatten wir einen optimalen Codierungsbaum so umgebaut, dass die Zeichen z1 und z2 Geschwister in maximaler Tiefe wurden. Wenn sie das nicht schon vor dem Umbau waren, müssen einige Zeichen mit genau den gleichen Häufigkeiten wie z1 und z2 vorkommen. Welche (Blätter in dem angegebenen Codierungsbaum) sind das?

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Huffman macht's richtig

Auf den folgenden Seiten wird begründet, weshalb der Algorithmus von Huffman tatsächlich einen Codierungsbaum T mit minimalem L(T) berechnet. Entsprechend der im Kapitel Allgemein formulierten Prinzipien stellen wir dabei besonders die Eigenschaft der gierigen Wahl und die der optimalen Teilstruktur heraus.

neue Begriffe

L(T) heißt (gewichtete) externe Pfadlänge von T.
Einen Codierungsbaum T mit minimalem L(T) nennen wir optimal.

keiner oder zwei

Zu einem Text kann es mehrere verschiedene optimale Codierungsbäume geben. Eines haben aber alle gemeinsam:

In einem optimalen Codierungsbaum gibt es keinen Knoten, der genau einen Sohn hat.

Begründung dazu
(bewege die Maus auf das Bild)

Gäbe es einen Knoten mit nur einem Sohn, so könnte man aus T durch 'Hochschieben' einen neuen Codierungsbaum mit kleinerer gewichteter externer Pfadlänge erzeugen. Dies kann nicht sein, denn T ist optimal.

Um wieviel verringert sich beim Hochschieben des Teilbaums die gewichtete externe Pfadlänge L(T)?

Um 1
Um die gewichtete externe Pfadlänge des verschobenen Teilbaums
Um die Anzahl der Blattknoten im verschobenenTeilbaum
Um die Summe der Häufigkeiten h(z) für alle Zeichen z im verschobenen Teilbaum