Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Definition

Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion auf der Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches. Sie weist jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu.

Beispiel Blaue Partei:

Die Zufallsvariable X weist dem Ergebnis "Nicht-Blaue-Partei-Wähler" den Wert 0 und dem Ergebnis "Blaue-Partei-Wähler" den Wert 1 zu,

also X("Nicht-Blaue-Partei-Wähler") = 0, X("Blaue-Partei-Wähler") = 1

Beispiel Lügendetektor:

Als Ergebnis kann man z.B. die 10 Intervalle [0 ; 1[ , [1 ; 2[ , ..., [9 ; 10] ansehen und diesen der Reihe nach die Werte 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; ...; 9,5 zuordnen,

also X([0 ; 1[) = 0,5 usw.

Definition

Man unterscheidet zwei Arten von Zufallsvariablen:

	Diskrete Zufallsvariable	Der Wertebereich besteht aus endlich oder abzählbar vielen Elementen (z.B. Augenzahl beim Würfeln)
	Stetige Zufallsvariable	Der Wertebereich ist ein reelles Intervall. (Sie approximieren diskrete Zufallsvariablen und vereinfachen deren Berechnung.)

Beispiel Blaue Partei + Lügendetektor:

In beiden Fällen (s.o.) handelt es sich um diskrete Zufallsvariablen.

Wichtige Parameter

Mit $x_i$ bzw. $x$ werden die möglichen Ergebnisse der Zufallsvariablen bezeichnet. Im diskreten Fall gibt $\text{P(X=}x_i)$ die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $x_i$ an, im Fall der stetigen Zufallsvariablen bezeichnet $f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsdichte.

	Diskrete Zufallsvariable	Stetige Zufallsvariable
Erwartungswert	$\displaystyle E(X) = \sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \cdot x_i$	$\displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \cdot x dx$
Varianz	$\displaystyle Var(X) = \sum_{i=1}^{n}P(X=x_i) \cdot (x_i - E(X))^2$	$\displaystyle Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x) \cdot (x - E(X))^2dx$
Standardabweichung	$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$	$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$

Beispiel Blaue Partei:

Tritt bei einmaliger Befragung mit einer Wahrscheinlichkeit p ein Blaue-Partei-Wähler auf, dann tritt ein Nicht-Blaue-Partei-Wähler mit der Wahrscheinlichkeit 1-p auf und es gilt:

E(X) = (1-p)·0+p·1 = p
V(X) = (1-p)·(0-p) $^2$ +p·(1-p) $^2$ = (1-p)·p $^2$ +(1-p) $^2$ ·p = (1-p)·p·(p+(1-p)) = p·(1-p)

Bei einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,385 beträgt bei einer Stichprobe also

E(X) = 0,385
V(X) = 0,236...
$\sigma$ (X) = 0,486...

Beispiel Lügendetektor:

Der Hersteller der Lügendektoren ging davon aus, dass die im Versuch ermittelten Häufigkeiten den Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ereignisse entsprechen. Also wurden zur Ermittlung des Erwartungswertes (im Falle einer Lüge) die Produkte aus gerundetem Detektorwert und zugehöriger relativer Häufigkeit addiert. (Diese Definition von X unterscheidet sich von der oben gemachten!):

E(X) = 0·0+1·0+2·0,01+3·0,04+4·0,11+5·0,21+6·0,26+7·0,21+8·0,11+9·0,04+10·0,01 = 6,0
V(X) = (0-6) $^2$ ·0+(1-6) $^2$ ·0+(2-6) $^2$ ·0,01+(3-6) $^2$ ·0,04+(4-6) $^2$ ·0,11+(5-6) $^2$ ·0,21+(6-6) $^2$ ·0,26+(7-6) $^2$ ·0,21+(8-6) $^2$ ·0,11+(9-6) $^2$ ·0,04+(10-6) $^2$ ·0,01 = 2,34
$\sigma$ (X) = 1,53

Stichproben-
summe

Bei mehrfacher Durchführung eines Zufallsversuchs unter unveränderten Bedingungen gilt für die Stichprobensumme $X = \sum_{i=1}^n X_i$ :

	Erwartungswert	$E(X) = n \cdot E(X_i)$
	Varianz	$Var(X) = n \cdot Var(X_i)$
	Standardabweichung	$\sigma(X) = \sqrt{n} \cdot\sigma(X_i)$

Dabei ist $X_i$ z.B. der Wert von $X$ beim i-ten Versuch.

Beispiel Blaue Partei:

Tritt mit einer Wahrscheinlichkeit p ein Blaue-Partei-Wähler auf, dann gilt für die Stichprobensumme:

E(X) = n·p
V(X) = n·p·(1-p)

Bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,385 für einen Blaue-Partei-Wähler und 100 Stichproben erwartet man also 38-39 Blaue-Partei-Wähler:

E(X) = 100·0,385 = 38,5
V(X)=100·0,236... = 23,6...
$\sigma$ (X) = 4,86...

Beispiel Lügendetektor:

Unter der Voraussetzung der oben festgelegten Wahrscheinlichkeiten gilt bei einer Stichprobe mit 100 Lügnern

E(X) = 100·6 = 600
V(X) = 100·2,34 = 234
$\sigma$ (X) = 10·1,53 = 15,3

Stichproben-
mittel

Bei mehrfacher Durchführung eines Zufallsversuchs gilt für das Stichprobenmittel $\bar{X} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} X_i$ :

	Erwartungswert	$E(\bar{X}) = E(X_i)$
	Varianz	$Var(\bar{X}) = \frac{Var(X_i)}{n}$
	Standardabweichung	$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma(X_i)}{\sqrt{n}}$

Beispiel Blaue Partei:

Für das Stichprobenmittel gilt bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,385 für einen Blaue-Partei-Wähler und 100 Stichproben:

E(X) = 0,385
V(X) = 0,01·0,236... = 0,00236...
$\sigma$ (X) = 0,1·0,486... = 0,0486...

Beispiel Lügendetektor:

Unter der Voraussetzung der oben festgelegten Wahrscheinlichkeiten gilt für das Stichprobenmittel bei einer Stichprobe mit 100 Personen:

E(X) = 6
V(X) = 0,01·2,34 = 0,234
$\sigma$ (X) = 0,1·1,53 = 0,153

Auf den Umfang kommt es an!

Bei einer Stichprobe mit n = 100 muss die Standardabweichung der Zufallsvariablen also durch 10 geteilt werden. Mit zunehmendem Stichprobenumfang wird die Standardabweichung des Stichprobenmittels also immer kleiner. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Stichprobenmittel nahe am Erwartungswert liegt, wird also immer größer.