Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Zur Wiederholung der Begriffe Konfidenzwahrscheinlichkeit und Konfidenzintervall

In der Realität kennt man üblicherweise den Wert p bzw. n·p nicht, sondern dieser soll auf Grund einer Stichprobe ermittelt werden. Genauer gesagt soll ein Intervall ermittelt werden, in dem der Erwartungswert n·p liegt.

Konkret soll nun zu einem Umfrageergebnis einer Stichprobe der Länge 1000 ein Konfidenzintervall für n·p mit der Konfidenzwahrscheinlichkeit von 90% erstellt werden:

Die wesentliche Idee!!!

Bei der Ermittlung des Konfidenzintervalls geht man vor wie bei dem Testverfahren in Kapitel 1:

Vermutung
Wir gehen bei den folgenden Überlegungen davon aus, dass die Befragung ein Stichprobenergebnis von h = 420 ergeben hat.

	Angenommen, der wahre Wert p ist kleiner als 0,42. (z.B. p = 0,40) Dann erwartet man als Stichprobenergebnis n·p=400 und ist erstaunt, 420 oder einen größeren Wert zu erhalten. Hypothese Ho
	Mit der Binomialverteilung berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses zu 10,4%. $\alpha$ -Fehler
	Durch Probieren variiert man p so lange bis die Wahrscheinlichkeit für das Stichprobenergebnis 420 oder ein noch höheres Ergebnis genau 5% beträgt. Dies ist die Fehlerwahrscheinlichkeit dafür, dass die untere Intervallgrenze einen noch kleineren Wert haben muss.
	Angenommen, der wahre Wert p ist größer als 0,42. Dann ist man erstaunt, 420 oder einen kleineren Werte zu erhalten. Wir variieren p wieder so lange, bis auch diese Wahrscheinlichkeit 5% beträgt. Hypothese H1, $\beta$ -Fehler
	Da wir für die obere und untere Grenze jeweils einen Fehler von 5% in Kauf genommen haben, ergibt [394 ; 446] ein 90%-Konfidenzintervall für n·p zum Stichprobenergebnis h = 420.

Die Intervallgrenzen $n \cdot p_u$ und $n \cdot p_o$ werden dabei nur durch Probieren ermittelt.

Versuche doch mal, ein 99%-Konfidenzintervall zu ermitteln

Hier kannst du in Abhängigkeit des Stichprobenumfangs n zu jedem Stichprobenergebnis h die Wahrscheinlichkeit für ein Konfidenzintervall anzeigen lassen. Dabei ist der Gesamtfehler $\alpha$ die Summe der Fehler jeder Intervallgrenze.
Verschiebe das Histogramm durch Betätigen des Schiebereglers.

Versuche nun, mit Hilfe der obigen Herleitung die allgemeine Formel zur Bestimmung der Fehler beider Intervallgrenzen zu ermitteln, die auch in dem obigen Applet Verwendung findet.

Verallgemeinerung der obigen Herleitung

Die entscheidenden Fragen:

Es gilt nun folgenden Fragen nachzugehen:

Welche Konfidenzwahrscheinlichkeit ist für den Anwender (die Partei) überhaupt akzeptabel?
Wie ist der qualitative Zusammenhang zwischen Konfidenzwahrscheinlichkeit 1- $\alpha$ , Stichprobenumfang n und der Größe des Konfidenzintervalls?
Die Ermittlung eines Konfidenzintervalls durch Probieren ist nicht sehr zufriedenstellend. Gibt es eine bessere Möglichkeit?