Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Zu der 3. Frage:

Gibt es eine Möglichkeit, das Konfidenzintervall direkt, also ohne mühsames Probieren, zu bestimmen?

Mit stetigen Verteilungen kann man besser rechnen als mit diskreten Verteilungen, da die Summenbildung durch ein Integral ersetzt wird. Deshalb werden wir die Binomialverteilung nun durch die Normalverteilung approximieren.

In diesem Zusammenhang benötigen wir das Gauß-Integral $\Phi(x)$ - das ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Gauß'sche Glockenkurve).

Die Herleitung kannst du auf einem Nebenpfad erarbeiten.

Das Konfidenzintervall
Applet zur Bestimmung der Werte des Gauss-Integrals und der Umkehrfunktion

Für das um die Stichprobensumme h symmetrische Konfidenzintervall [h-d ; h+d] für $\mu = np$ gilt
$1 - \alpha \approx 2 \Phi(\frac{d}{\sigma}) - 1 \; \Leftrightarrow \; d \approx \Phi^{-1}(1 - \frac{\alpha}{2}) \cdot \sigma$
Dabei ist 1 - $\alpha$ die Konfidenzwahrscheinlichkeit und d die halbe Intervalllänge.

$\Phi^{-1}(x)$ ist zwar nicht elementar berechenbar, aber in den meisten Statistikbüchern tabelliert. Die Standardabweichung der Binomialverteilung
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$
wird dabei geschätzt, indem man für den unbekannten Wert p die relative Trefferanzahl der Stichprobe $\frac{h}{n}$ einsetzt.

Runde die Dezimalwerte auf 3 Nachkommastellen.

Nachkommastellen werden durch einen Punkt getrennt.

Zur vorgegebenen Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 - $\alpha$ und zum Stichprobenumfang n kann man jetzt für jedes Stichprobenergebnis h ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert $n \cdot p$ ausrechnen:

Konfidenzintervalle bei Stichproben

Zum Applet

In der Voreinstellung wird ein 90%-Konfidenzintervall für den Wähleranteil einer Partei bestimmt, für die bei einer Umfrage unter 1000 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten 420 Personen gestimmt haben.
Das waren die Parameter der Herleitung auf Seite 7.

Beispielwerte:

gegeben:

1-	90 %
h	420
Verteilung	Binomial
n	1000

gesucht:

Konfidenz-
intervall

Die Approximation ist sehr gut. Bei dem hohen Stichprobenumfang unterscheiden sich die Konfidenzintervalle nicht von denen der exakten Herleitung unter Verwendung der Binomialverteilung.