Konfidenzintervalle und Hypothesentests

Eine kleine Partei

Kleine Parteien interessieren sich vor der Bundestagswahl vor allem dafür, ob der aktuelle Wähleranteil über 5% liegt. Für diese Fragestellung können wir jedoch kein passendes Konfidenzintervall der Form I = [5% ; $\infty$ [ angeben. Wir bestimmen also erst einmal ein symmetrisches Konfidenzintervall wie bisher.

Mit dem Applet, dass du schon auf Seite 9 kennengelernt hast, kannst du ausprobieren, bei welchem Wähleranteil h das Konfidenzintervall die 5%-Hürde als untere Grenze enthält, und damit der Wähleranteil bei mindestens 5% liegt. Als Konfidenzwahrscheinlichkeit fordert die Partei 1 - $\alpha$ = 90%.

Berechne den Wert mit Hilfe des Applets über zweiseitige symmetrische Konfidenzintervalle

Da dieses Verfahren die Frage der Partei noch nicht exakt beantwortet, werden wir nun ein Konfidenzintervall der Form I = [5% ; $\infty$ [ bestimmen. Zur Herleitung eines solchen Intervalls müssen wir uns an die Konstruktion von Konfidenzintervallen erinnern.

Mehrfachnennungen sind möglich

Wir haben ein 90%-Konfidenzintervall so konstruiert, dass ...

... der wahre Wert in 5% der Fälle unterhalb der unteren Intervallgrenze liegt.
... der wahre Wert in 10% der Fälle unterhalb der unteren Intervallgrenze liegt.
... der wahre Wert in 5% der Fälle oberhalb der oberen Intervallgrenze liegt.
... der wahre Wert in 10% der Fälle oberhalb der oberen Intervallgrenze liegt.
... der wahre Wert in 90% der Fälle innerhalb des Intervalls liegt.

Die Idee

Ein 90%-Konfidenzintervall liegt doch auch dann vor, wenn die eine Intervallgrenze mit einem Fehler von 10% bestimmt wird und die andere Grenze offen bleibt und damit fehlerfrei ist. Da die Partei nur wissen möchte, ob der Wähleranteil wenigstens 5% beträgt, ist für sie schließlich nur die untere Intervallgrenze interessant.

Für jeden Anwender ein passendes Konfidenzintervall

Interessiert man sich für die Konfidenzwahrscheinlichkeit ober- bzw. unterhalb eines Wertes der Zufallsvariablen, so bestimmt man ein einseitiges Konfidenzintervall.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für die Überwindung der 5%-Hürde

Interessiert man sich hingegen für einen Bereich, so bestimmt man ein zweiseitiges Konfidenzintervall.
Beispiel: Die Angabe eines Schätzbereiches für den Wähleranteil

Eine bekannte Aufgabe

Approximiert man nun analog zu den zweiseitigen Konfidenzintervallen die Binomialverteilung durch die Normalverteilung, so ergibt sich folgende Berechnungsvorschrift:

Einseitige Konfidenzintervalle
Applet zur Bestimmung der Werte des Gauss-Integrals und der Umkehrfunktion

Die einseitigen Konfidenzintervalle [h-d ; $\infty$ [ und ]- $\infty$ ; h+d] für $\mu = n \cdot p$ besitzen die Konfidenzwahrscheinlichkeit
$1 - \alpha = P(\mu \in [h-d; \; \infty[) = P( \mu \in ]- \infty; \; h+d]) \approx \Phi(\frac{d}{\sigma})$

Daraus folgt:
$d \approx \Phi^{-1}(1 - \alpha) \cdot \sigma$

Runde die Dezimalwerte auf 2 Nachkommastellen.

Nachkommastellen werden durch einen Punkt getrennt.

Im Fall der Binomialverteilung wird die Standardabweichung
$\sigma = \sqrt{n p (1 - p)}$
auch hier wieder geschätzt, indem man für den unbekannten Wert p die relative Trefferanzahl der Stichprobe $\frac{h}{n}$ einsetzt.

Im Fall der Approximation beliebig verteilter Zufallsvariablen durch die Normalverteilung ist wie bei den zweiseitigen Konfidenzintervallen für $\sigma$ die Standardabweichung der Stichprobensumme einzusetzen.

Mit dem folgenden Applet kannst du einseitige Konfidenzintervalle bestimmen:

Einseitige Konfidenzintervalle bei Stichproben

Zum Applet

In der Voreinstellung wird ein einseitiges 90%-Konfidenzintervall für den Wähleranteil einer Partei bestimmt, für die bei einer Umfrage unter 1000 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten 63 Personen gestimmt haben.

Beispielwerte:

gegeben:

1-	90 %
h	63
Verteilung	Binomial
n	1000

gesucht:

einseitige Konfidenz- intervalle

Bitte nachprüfen

Unter Verwendung eines einseitigen Konfidenzintervalls kann die Partei sogar schon ab einem Stichprobenergebnis von 60 Wählern mit einer Konfidenzwahrscheinlichkeit von 90% davon ausgehen, dass ihr Wähleranteil bei mindestens 5% liegt. Erst damit hat man die Frage richtig beantwortet.

Zur Erinnerung: Bei der Betrachtung eines zweiseitigen 90%-Konfidenzintervalls erhielt man als Antwort 63 Parteianhänger. Unter Anwendung des passenden Verfahrens könnte die Partei damit sogar davon ausgehen, dass der Wähleranteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bei mindestens 5,3% liegt.

1 - $\alpha$	99%	95%	90%	50%

$\Phi^{-1}(1 - \alpha / 2)$	2.58	1.96	1.65	0.68

$\Phi^{-1}(1 - \alpha)$