Das Königsberger Brückenproblem | MathePrisma

Das Königsberger Brückenproblem

Andere Städte

Einleitung

Mathematisch

Lösung

Andere Städte

Euler

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

(mathematische Aufbereitung)

Betrachtet werden die beiden Stadtpläne

a) Bezeichnen Sie in beiden Stadtplänen die Gebiete und Brücken mit Buchstaben.

b) Geben Sie für beide Stadtpläne einen Weg (in Gestalt einer Buchstabenfolge) an, der genau vier verschiedene Brücken benutzt.

Aufgabe 2

(Eulerbedingung, Zusammenhangsbedingung)

a) Für welche der beiden Stadtpläne existiert ein Weg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Geben Sie im Falle der Existenz einen solchen Weg an. Existiert auch ein Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt?

c) Wenn der gesuchte Weg nicht existiert: Welche Brücken muss man ergänzen, damit er existiert?

Aufgabe 3

(indirekter Beweis)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die nur durch sich selbst und durch 1 geteilt werden kann.

Sind $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ endlich viele Primzahlen und ist $\text{p} \, = \, \text{p}_1 \cdot \text{p}_2 \cdot ... \cdot \text{p}_m \, + \, 1$ , so ist $\text{p}$ entweder selbst eine Primzahl oder durch eine von $\text{p}_1$ , $\text{p}_2$ , ..., $\text{p}_m$ verschiedene Primzahl teilbar.

Formulieren Sie einen auf dieser Beobachtung fußenden indirekten Beweis für die Aussage: "Es gibt unendlich viele Primzahlen".

Aufgabe 4

(notwendige und hinreichende Bedingung)

Betrachtet werden folgende Aussagen über natürliche Zahlen p > 1:

A1: p ist keine Quadratzahl
A2: p ist durch keine Primzahl < p teilbar
A3: im Dezimalsystem besitzt p eine ungerade Endziffer
A4: p+2 ist Primzahl

Welche dieser Aussagen sind notwendig, welche hinreichend, welche notwendig und hinreichend für die Aussage

A5: p ist eine Primzahl

Aufgabe 5

Das Spiel "Haus vom Nikolaus" besteht darin, nebenstehende Figur ohne abzusetzen aufzuzeichnen.

a) Erklären Sie, weshalb dieses Spiel als Brückenproblem betrachtet werden kann. Zeichnen Sie den zugehörigen Stadtplan auf. (Achtung: Luftbrücken!)

b) An welcher Stelle muss man mit dem Zeichnen beginnen, damit man ohne abzusetzen zum Ziel kommt? Verwenden Sie a) zur Begründung.

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Zurück zu Eulers Schlussweise für Königsberg

Kann man Eulers Schlussweise auch bei anderen ,,Stadtplänen" verwenden?

Es kann keinen, einen oder mehrere gesuchte Wege geben

Wir wollen also für einen beliebigen ,,Stadtplan" mit Gebieten und Brücken wissen, ob es einen Weg gibt, der jede Brücke genau einmal benutzt.

Einen solchen Weg nennen wir wieder einen gesuchten Weg.

Wie gingen wir vor für Königsberg?

	Wir haben abgezählt, wieviele Brücken von jedem Gebiet G ausgehen. Wir bezeichnen diese Zahl jetzt mit n(G). Wir hatten überlegt: n(G) sollte für alle Gebiete (bis auf höchstens zwei) gerade sein.
	Weil die Eulerbedingung für Königsberg nicht erfüllt ist, gibt es den gesuchten Weg nicht.

Die Bedingung, dass n(G) für alle Gebiete (bis auf höchstens 2) gerade sein muß, nennen wir jetzt Eulerbedingung.

Übertragung auf andere Stadtpläne

Dieses Vorgehen können wir für andere Stadtpläne auch anwenden. Wenn die Eulerbedingung nicht erfüllt ist, gibt es den gesuchten Weg nicht, denn ein gesuchter Weg erfüllt immer die Eulerbedingung.

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