Kombinatorik | MathePrisma

Ziehen OHNE Zurücklegen, MIT Beachtung der Reihenfolge

Urnenexperiment

Sie führen nun das Urnenexperiment der letzten Seite mit folgendem wichtigen Unterschied aus:

Sie legen die Kugel nach der ersten Ziehung nicht wieder zurück.
Es interessiert Sie wieder die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden.

Erstellen Sie hier wieder ein Baumdiagramm, um die entsprechende Anzahl der Möglickeiten zu ermitteln:

Scrollen Sie so lange, bis Sie den ganzen rot umrandeten Bereich sehen!

Erstellen Sie dann hier das Baumdiagramm!

ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge n=4, k=2

Für die erste Kugelziehung gibt es wieder vier Möglichkeiten: rot, gelb, grün und blau. Da Sie die Kugel aus der ersten Ziehung nicht zurücklegen (Sie beachten die Reihenfolge aber weiterhin!), gibt es zu jedem der vier möglichen Ergebnisse der ersten Ziehung nur noch drei Möglichkeiten für die zweite Ziehung.

Haben Sie also z.B. im ersten Zug die rote Kugel gezogen, so können Sie diese nicht noch einmal ziehen. Beispielsweise gibt es das Ergebnis (rot,rot) für dieses Zufallsexperiment nicht, es hat nur $4\cdot3=12$ mögliche Ergebnisse.

Verallgemeinerung:
Auswahl von k Elementen aus Menge mit n Elementen ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge

	Für die erste Kugelziehung gibt es n Möglichkeiten,
	für die zweite Kugelziehung gibt es n-1 Möglichkeiten ...
	... für die k-te Kugelziehung schließlich gibt es n-(k-1)=n-k+1 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl der Ergebnisse steht jetzt da, aber dies läßt sich noch schöner darstellen:
	Dazu erweitert man zunächst mit $(n-k)\cdot(n-k-1)\cdot...\cdot2\cdot1$ .
	Durch die Nutzung des Fakultätssymbols läßt sich der Ausdruck noch eleganter hinschreiben. (Erklärung ! (Fakultät))

Verallgemeinerung

Für die Auswahl

von k Elementen
aus einer Menge mit n Elementen
ohne Wiederholung
und mit Berücksichtigung der Reihenfolge

gibt es
	$\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}$
Möglichkeiten.

Beispiel Pferdewette

Eine Anwendung ist das Beispiel Pferdewette.