Wir betrachten unser "Standardurnenexperiment" (n=4, k=2)
Das bedeutet: Uns interessiert nun, welche Kugeln überhaupt gezogen wurden, aber nicht, in welcher Reihenfolge das geschah.
Also unterscheiden wir beispielsweise nicht mehr zwischen den Ausfällen "blaue Kugel im ersten Zug, rote Kugel im zweiten" und "rote Kugel im ersten Zug, blaue Kugel im zweiten", sondern betrachten nur das Ergebnis "blaue und rote Kugel gezogen".
Ziehen ohne
Zurücklegen, ohne
Berücksichtigung der
Reihenfolge
n=4, k=2
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es bei unserem Urnenexperiment insgesamt zwölf Möglichkeiten.
Von diesen zwölf geordneten Paaren ergeben je zwei dieselbe Menge. Also muss man die zwölf durch zwei teilen und erhält damit sechs Möglichkeiten bei Nichtbeachtung der Reihenfolge.
Allgemeiner gilt (n, k beliebig):
Verallgemeinerung:
Auswahl von k Elementen aus Menge mit n Elementen
ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge
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| Die Anzahl der Möglichkeiten bei Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung ist... | |
| Wir wollen hier aber die Reihenfolge eben nicht berücksichtigen. Daher müssen wir noch durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, auf die sich k Elemente anordnen lassen (denn die Anordnung der k Elemente ist uns bei Nichtbeachtung der Reihenfolge egal). Dies ist die Anzahl der Permutationen von k Elementen, und das ist k!. | |
| ... entsprechend der Definition des Binomialkoeffizienten. |
Verallgemeinerung
Für die Auswahl
| gibt es | |
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| Möglichkeiten. |
Beispiel Lotto
Ein Anwendungsbeispiel ist das Lotto "6 aus 49".
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