Krümmung von Trassen | MathePrisma

Krümmung von Trassen

Anwendung bei der Schwebebahn

Einleitung

Der Krümmungsbegriff

Anwendung

Geschwindigkeit

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Unsere Idee zur Berechnung des Schmiegkreises rührt daher, dass wir einen Zusammenhang zwischen dem alten Problem der Tangentenberechnung und dem neuen Problem der Schmiegkreisberechnung gesehen haben. Dies zeigt die folgende tabellarische Gegenüberstellung.

Fülle die leeren Felder der Tabelle aus.

	altes Problem	Lösung	neues Problem	Lösung
	Steigung einer Geraden y = mx + b	konstante Steigung m in jedem Punkt der Geraden	Steigung in einem bestimmten Punkt (x0\|f(x0)) der Kurve	Die Steigung der Kurve entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0\|f(x0)).
	Krümmung eines Kreises mit dem Radius r	konstante Krümmung $k=\frac{1}{r}$ in jedem Punkt des Kreises

Aufgabe 2

Gegeben sind einige Funktionen und ausgewählte Punkte auf ihrem Graphen. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel $k=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ die Krümmung dieser Funktionen in den gegebenen Punkten.

a) $f_{1}(x)=3x^{2}$ $P(2|12)$

b) $f_{2}(x)=x^{3}$ $P_{1}(1|1)$ $P_{2}(2|8)$

c) $f_{3}(x)=sin(x)$ $P(\frac{pi}{2}|1)$

Aufgabe 3

Jetzt soll für die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$ und den Punkt $P(1|1)$ das Verfahren aus der Diashow von Seite 5 rechnerisch durchgeführt werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:

Stelle zuerst die Gleichungen der Normalen in P(1|1) und $Q(x_{n}|x_{n}^{3})$ auf. Für die Normale in Q muss sich die Gleichung $y=-\frac{1}{3x_{n}^{2}}\cdot x+x_{n}^{3}+\frac{1}{3x_{n}}$ ergeben.
Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes $(x_{s}|y_{s})$ beider Normalen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des "Durchschnittskreises" für die Punkte P und Q. Man erhält $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{1-x_{n} ^{2}}$ .
In einem weiteren Schritt muss sich jetzt der Punkt Q dem Punkt P annähern, d.h. es muss sich $x_{n}$ dem Wert 1 nähern. Der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 ist aber bei dem angegebenen Bruch nicht möglich, weil der Nenner sich der Zahl Null nähern würde. Als muss der Nenner so umgeformt werden, dass der Grenzübergang anschließend möglich ist. Nach der 3. binomischen Formel kann man $x_{s}$ als $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{(1-x_{n})\cdot (1+x_{n})}$ . schreiben. Führe anschließend eine Polynomdivision des Zählers durch $1-x_{n}=-x_{n}+1$ durch.
Danach bleibt ein Term der Form $x_{s}=\frac{...}{(1+x_{n})}$ übrig. Für diesen Term ist der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 möglich, weil sich der Nenner nicht mehr dem Wert Null nähert. Wenn du richtig gerechnet hast, muss sich für den Grenzwert und damit die x-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises der Wert - 4 ergeben.
Berechne zum Schluss auch die y-Koordinate des Mittelpunktes und den Krümmungsradius r als Abstand zwischen diesem Punkt sowie P(1|1). Der Radius r muss mit demjenigen Wert übereinstimmen, der sich auch aus unserer Formel $r = \frac{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}{f''(x)}$ ergeben hat.

Aufgabe 4

Es gibt auch Übergangsstücke der Form $f(x)=a\cdot x^{3}$ für einen Kurvenradius von 150 m. Berechne mit Hilfe des Newtonverfahrens auch für diesen Radius den Koeffizienten a und prüfe, inwieweit dieser Wert mit dem alten Ergebnis von $a=\frac{1}{42950}$ übereinstimmt.

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Weil der Ansatz $f(x)=a\cdot x^{3}$ die auf der vorherigen Seite genannten Kriterien der Übergangskurve erfüllt, muss jetzt nur noch erreicht werden, dass seine Krümmung nach 50 Metern $\frac{1}{90}$ beträgt. Es sind $f'(x) = 3a\cdot x^{2}$ und $f''(x)=6a\cdot x$ . Setzt man alle drei Bedingungen in die Formel für die Krümmung ein, so erhält man für die Berechnung von a die Gleichung

$\displaystyle k = \frac{f''(50)}{(1 + f'(50)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{300\cdot a}{(1+56250000\cdot a^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{90}$

Näherungsverfahren zur Berechnung von a

Diese Gleichung haben wir mit elementaren Umformungen nicht lösen können. Deshalb haben wir das Newton-Verfahren benutzt, um eine Lösung näherungsweise zu ermitteln.

Die Formel für die Berechnung einer Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens lautet

$\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-\frac{g(x_{n})}{g'(x_{n})}$

Überträgt man dies auf unser Problem, so erhält man

die Funktionsgleichung $g(a)=\frac{300a}{(1+56250000a^{2})^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{90}$
die Ableitung $g'(a)= \frac{300\cdot (1-112500000a^{^2})}{(1+56250000a^{2})^{\frac{5}{2}}}$
und die Iterationsformel in der Gestalt $a_{n+1}=a_{n}-\frac{g(a_{n})}{g'(a_{n})}$

Iterative Berechnung von a