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Krümmung von Trassen

Krümmung von Trassen

Geschwindigkeit

Krümmung und Geschwindigkeit

Am Ende unseres Moduls wollen wir noch einmal auf die Geschwindigkeit der Schwebebahn in der Kurve an der Kluse zurückkommen. Die folgende Abbildung zeigt nicht nur die alte Streckenführung hinter der Kluse wie auf Seite 2 unseres Moduls, sondern auch die neue Trassenführung.

Während die alte Kurve hinter der Kluse einen Kurvenradius von 90 Metern und damit eine Krümmung von \(\frac{1}{90}\) hatte, ist die Krümmung jetzt mit \(\frac{1}{107,5}\) kleiner als bisher. Dies hat Auswirkungen auf die Geschwindigkeit, mit der diese Kurve durchfahren werden kann.

physikalische Zusammenhänge

Betrachtet man die Bewegung der Schwebebahn in einer kreisförmigen Kurve von oben, so wird sie durch die Zentripetalkraft \(Z=\frac{m\cdot v^{2}}{r}\) auf ihrer Bahn gehalten.

Betrachtet man jetzt die Situation von vorne, so erkennt man, dass die Schwebebahn ähnlich einem Pendel in der Kurve nach außen ausschlägt.

Ist \(\alpha\) derjenige Winkel, um den die Schwebebahn sich in der Kurve gegenüber der Lotrechten nach außen neigt, so lässt sich in dem Kräfterechteck (Parallelogramm) die nach außen wirkende Kraft durch \(m\cdot g\cdot tan(\alpha)\) beschreiben. Da Z und diese Kraft dem Betrag nach gleich groß sind, erhält man die Gleichung \(\frac{m\cdot v^{2}}{r}=m\cdot g\cdot tan(\alpha) \Leftrightarrow v=\sqrt{g\cdot r\cdot tan(\alpha)}\)

Konstruktionsvorgaben

Die Konstrukteure der Schwebebahn wollen nun, dass die Schwebebahn nicht mehr als 13,5° nach außen pendelt. Damit ist bei gegebenem Krümmungsradius die Maximalgeschwindigkeit festgelegt (\(g\) entspricht der vorliegenden Erdbeschleunigung \(9,81\frac{m}{s^{2}}\)).

Berechne die Maximalgeschwindigkeiten

Tipp

Die alte Trasse hatte in der Kluse einen Krümmungsradius von 90 Metern, die neue Trasse einen solchen von 107,5 Metern.
Die Formel von oben lautet: \(v=\sqrt{g\cdot r\cdot tan(\alpha)}\)
  • Gib die alte Maximalgeschwindigkeit in \(\frac{km}{h}\) an:  
  • Ermittle die neue Höchstgeschwindigkeit in \(\frac{km}{h}\):  

Damit liegt die Geschwindigkeit leider noch unter dem angestrebten Ziel von \(60\frac{km}{h}\), hat sich aber gegenüber dem ursprünglichen Wert um 9,3% gesteigert.

Klothoiden

Wir wollen unser Modul nicht abschließen, ohne auf eine Neuerung in der Gestaltung von Trassen hinzuweisen. Während die Schwebebahnkonstrukteure vor 100 Jahren ganzrationale Funktionen dritten Grades benutzt haben, um sanft und ohne Ruck von geraden Stücken in Kreisbögen überzuleiten, benutzt man heute sogenannte Klothoiden für diese Übergänge. Weil deren Darstellung den Rahmen unseres Moduls aber völlig sprengen würde, sei zum Schluss für die weitere Lektüre auf den Artikel zum  Stichwort Klothoide von Wikipedia und die Internetseite  von Herrn Hinterseher verwiesen.