Krümmung von Trassen | MathePrisma

Krümmung von Trassen

Einleitung

Einleitung

Der Krümmungsbegriff

Anwendung

Geschwindigkeit

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Unsere Idee zur Berechnung des Schmiegkreises rührt daher, dass wir einen Zusammenhang zwischen dem alten Problem der Tangentenberechnung und dem neuen Problem der Schmiegkreisberechnung gesehen haben. Dies zeigt die folgende tabellarische Gegenüberstellung.

Fülle die leeren Felder der Tabelle aus.

	altes Problem	Lösung	neues Problem	Lösung
	Steigung einer Geraden y = mx + b	konstante Steigung m in jedem Punkt der Geraden	Steigung in einem bestimmten Punkt (x0\|f(x0)) der Kurve	Die Steigung der Kurve entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0\|f(x0)).
	Krümmung eines Kreises mit dem Radius r	konstante Krümmung $k=\frac{1}{r}$ in jedem Punkt des Kreises

Aufgabe 2

Gegeben sind einige Funktionen und ausgewählte Punkte auf ihrem Graphen. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel $k=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ die Krümmung dieser Funktionen in den gegebenen Punkten.

a) $f_{1}(x)=3x^{2}$ $P(2|12)$

b) $f_{2}(x)=x^{3}$ $P_{1}(1|1)$ $P_{2}(2|8)$

c) $f_{3}(x)=sin(x)$ $P(\frac{pi}{2}|1)$

Aufgabe 3

Jetzt soll für die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$ und den Punkt $P(1|1)$ das Verfahren aus der Diashow von Seite 5 rechnerisch durchgeführt werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:

Stelle zuerst die Gleichungen der Normalen in P(1|1) und $Q(x_{n}|x_{n}^{3})$ auf. Für die Normale in Q muss sich die Gleichung $y=-\frac{1}{3x_{n}^{2}}\cdot x+x_{n}^{3}+\frac{1}{3x_{n}}$ ergeben.
Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes $(x_{s}|y_{s})$ beider Normalen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des "Durchschnittskreises" für die Punkte P und Q. Man erhält $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{1-x_{n} ^{2}}$ .
In einem weiteren Schritt muss sich jetzt der Punkt Q dem Punkt P annähern, d.h. es muss sich $x_{n}$ dem Wert 1 nähern. Der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 ist aber bei dem angegebenen Bruch nicht möglich, weil der Nenner sich der Zahl Null nähern würde. Als muss der Nenner so umgeformt werden, dass der Grenzübergang anschließend möglich ist. Nach der 3. binomischen Formel kann man $x_{s}$ als $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{(1-x_{n})\cdot (1+x_{n})}$ . schreiben. Führe anschließend eine Polynomdivision des Zählers durch $1-x_{n}=-x_{n}+1$ durch.
Danach bleibt ein Term der Form $x_{s}=\frac{...}{(1+x_{n})}$ übrig. Für diesen Term ist der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 möglich, weil sich der Nenner nicht mehr dem Wert Null nähert. Wenn du richtig gerechnet hast, muss sich für den Grenzwert und damit die x-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises der Wert - 4 ergeben.
Berechne zum Schluss auch die y-Koordinate des Mittelpunktes und den Krümmungsradius r als Abstand zwischen diesem Punkt sowie P(1|1). Der Radius r muss mit demjenigen Wert übereinstimmen, der sich auch aus unserer Formel $r = \frac{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}{f''(x)}$ ergeben hat.

Aufgabe 4

Es gibt auch Übergangsstücke der Form $f(x)=a\cdot x^{3}$ für einen Kurvenradius von 150 m. Berechne mit Hilfe des Newtonverfahrens auch für diesen Radius den Koeffizienten a und prüfe, inwieweit dieser Wert mit dem alten Ergebnis von $a=\frac{1}{42950}$ übereinstimmt.

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Die Bedeutung des Krümmungsbegriffes

Krümmt sich die Kurve nur vor lachen oder steckt doch mehr dahinter?

Das Icon dieses Moduls stellt eine gekrümmte Bahntrasse der Wuppertaler Schwebebahn dar.

Anhand von drei weiteren Bildern in einer Diashow möchten wir dir zeigen, wo dieser Begriff auch noch eine Rolle spielt:

Ein paar Beispiele

Teste dein Wissen über Kurven und ihre Krümmung. Wähle die richtigen Möglichkeiten aus!

Wer bremst, verliert!? Damit ein Rennfahrer eine Kurve mit einer möglichst hohen Geschwindigkeit durchfahren kann, darf diese nur leicht gekrümmt sein.
Bei einem gewagten Flugmanöver eines Jetpiloten steigen die Kräfte, die auf ihn wirken, durch welche er z.B. in den Sitz gedrückt wird, wenn die Krümmung der Flugbahn sich verringert.
Die Kurvenkrümmung der Spur, die der Wasserskifahrer im Wasser hinterlässt, ist von der Geschwindigkeit und der Neigung abhängig.
Schienenfahrzeuge können durch ihre festgelegte Radführung beliebig stark gekrümmte Kurven mit hoher Geschwindigkeit durchfahren.
Motorradfahrer können ihren starken Neigungswinkel nur halten, wenn sie ausreichend langsam in die Kurven einfahren.
Kurven sollten immer aus Kreisbögen bestehen, weil diese leicht zu berechnen und zu bauen sind.

Erste Zusammenfassung

Die bisherigen Ergebnisse kann man für Straßen und Eisenbahnenlinien folgendermaßen zusammenfassen:

Kurven im Straßenverkehr müssen immer so gebaut werden, dass man ihnen leicht "folgen" kann und nicht aus der Kurve "getragen" wird. Auch bei Zügen, Straßenbahnen oder anderen Schienenfahrzeugen, wie der Schwebebahn, werden sie so ausgelegt, dass sie eher "sanfte Richtungswechsel" und keine scharfen "Knicke" bewirken.

Das erste Bild zeigt eine Kehre innerhalb der "berühmt-berüchtigten" Nordschleife des Nürburgrings.

Hier müssen die Rennfahrer trotz der erhöhten Fahrbahn ihre Geschwindigkeit herabsetzen, um nicht aus der Kurve getragen zu werden.

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Diese Abbildung zeigt die Flugbahnen am Flughafen Frankfurt a. M. bei den Starts und Landungen großer Flugzeuge. Du erkennst gut, dass während des eigentlichen Start- bzw. Landevorgangs die Flugbahnen genau gerade verlaufen.

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Erst in einer bestimmten Höhe kriegen die Flugzeuge "dann die Kurve", um ihrem eigentlichen Ziel entgegenzufliegen.

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Das letzte Bild zeigt einen Wasserskifahrer, der eine hohe Wasserfontäne hinter sich her zieht, wenn er sich in die Kurve legt.

Ihre Höhe ist abhängig davon, wie schnell und wie eng die Kurve durchfahren wird. Außerdem siehst du gut, dass sich der Wasserskifahrer zum Kurvenmittelpunkt neigen muss, um nicht baden zu gehen.

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