Krümmung von Trassen | MathePrisma

Krümmung von Trassen

Von der Anschauung zur mathematischen Definition

Einleitung

Der Krümmungsbegriff

Anwendung

Geschwindigkeit

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Unsere Idee zur Berechnung des Schmiegkreises rührt daher, dass wir einen Zusammenhang zwischen dem alten Problem der Tangentenberechnung und dem neuen Problem der Schmiegkreisberechnung gesehen haben. Dies zeigt die folgende tabellarische Gegenüberstellung.

Fülle die leeren Felder der Tabelle aus.

	altes Problem	Lösung	neues Problem	Lösung
	Steigung einer Geraden y = mx + b	konstante Steigung m in jedem Punkt der Geraden	Steigung in einem bestimmten Punkt (x0\|f(x0)) der Kurve	Die Steigung der Kurve entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0\|f(x0)).
	Krümmung eines Kreises mit dem Radius r	konstante Krümmung $k=\frac{1}{r}$ in jedem Punkt des Kreises

Aufgabe 2

Gegeben sind einige Funktionen und ausgewählte Punkte auf ihrem Graphen. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel $k=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ die Krümmung dieser Funktionen in den gegebenen Punkten.

a) $f_{1}(x)=3x^{2}$ $P(2|12)$

b) $f_{2}(x)=x^{3}$ $P_{1}(1|1)$ $P_{2}(2|8)$

c) $f_{3}(x)=sin(x)$ $P(\frac{pi}{2}|1)$

Aufgabe 3

Jetzt soll für die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$ und den Punkt $P(1|1)$ das Verfahren aus der Diashow von Seite 5 rechnerisch durchgeführt werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:

Stelle zuerst die Gleichungen der Normalen in P(1|1) und $Q(x_{n}|x_{n}^{3})$ auf. Für die Normale in Q muss sich die Gleichung $y=-\frac{1}{3x_{n}^{2}}\cdot x+x_{n}^{3}+\frac{1}{3x_{n}}$ ergeben.
Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes $(x_{s}|y_{s})$ beider Normalen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des "Durchschnittskreises" für die Punkte P und Q. Man erhält $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{1-x_{n} ^{2}}$ .
In einem weiteren Schritt muss sich jetzt der Punkt Q dem Punkt P annähern, d.h. es muss sich $x_{n}$ dem Wert 1 nähern. Der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 ist aber bei dem angegebenen Bruch nicht möglich, weil der Nenner sich der Zahl Null nähern würde. Als muss der Nenner so umgeformt werden, dass der Grenzübergang anschließend möglich ist. Nach der 3. binomischen Formel kann man $x_{s}$ als $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{(1-x_{n})\cdot (1+x_{n})}$ . schreiben. Führe anschließend eine Polynomdivision des Zählers durch $1-x_{n}=-x_{n}+1$ durch.
Danach bleibt ein Term der Form $x_{s}=\frac{...}{(1+x_{n})}$ übrig. Für diesen Term ist der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 möglich, weil sich der Nenner nicht mehr dem Wert Null nähert. Wenn du richtig gerechnet hast, muss sich für den Grenzwert und damit die x-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises der Wert - 4 ergeben.
Berechne zum Schluss auch die y-Koordinate des Mittelpunktes und den Krümmungsradius r als Abstand zwischen diesem Punkt sowie P(1|1). Der Radius r muss mit demjenigen Wert übereinstimmen, der sich auch aus unserer Formel $r = \frac{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}{f''(x)}$ ergeben hat.

Aufgabe 4

Es gibt auch Übergangsstücke der Form $f(x)=a\cdot x^{3}$ für einen Kurvenradius von 150 m. Berechne mit Hilfe des Newtonverfahrens auch für diesen Radius den Koeffizienten a und prüfe, inwieweit dieser Wert mit dem alten Ergebnis von $a=\frac{1}{42950}$ übereinstimmt.

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Die Krümmung bei Geraden und Kreisen

Jeder von uns hat bei einfachen Figuren ein Gefühl dafür, was "Krümmung" bedeutet. Diese intuitive Vorstellung soll jetzt mathematisch präzisiert werden.

Hier kannst du nach Gefühl die Krümmung abschätzen. Ordne passend zu!

Anhand folgender zwei Applets kannst du die Krümmung bei Strecken und Kreisen beobachten.

Konstante Krümmungen -

Beobachte beim Verschieben der Punkte das Krümmungsverhalten

Zusammenfassung

Diese beiden Applets lassen folgende Eigenschaften erkennen:

Strecken haben die Krümmung 0.
Bei Kreisen ist die Krümmung überall gleich groß.
Je größer der Kreisradius ist, desto kleiner ist die Krümmung.

Vorläufige Definition

Die beiden hier angeführten Beispiele zeigen, dass man in einfachen Fällen die Krümmung mathematisch durch $k = \frac{1}{r}$ definieren kann.

Diese noch unvollständige Definition stellt sicher, dass

jeder Kreis eine konstante Krümmung hat.
die Krümmung vom Radius des Kreises abhängt.
Kreise mit großem Radius eine kleinere Krümmung als solche mit kleinem Radius haben.

Außerdem passt diese Definition dazu, dass gerade Linien die Krümmung 0 haben. Wenn der Radius eines Kreises immer größer wird, nähert er sich immer mehr einer Geraden an. Zugleich wird die Krümmung immer kleiner, ist also im Grenzfall der Geraden 0.

Das folgende Applet zeigt, dass aber bereits bei Parabeln diese vorläufige Definition nicht mehr ausreicht.

Die Krümmung bei Parabeln

$f(x)=x^{2}$

Beobachte beim Verschieben des Punktes das Krümmungsverhalten