Krümmung von Trassen

Von der Anschauung zur mathematischen Definition

Einleitung

Der Krümmungsbegriff

Anwendung

Geschwindigkeit

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Unsere Idee zur Berechnung des Schmiegkreises rührt daher, dass wir einen Zusammenhang zwischen dem alten Problem der Tangentenberechnung und dem neuen Problem der Schmiegkreisberechnung gesehen haben. Dies zeigt die folgende tabellarische Gegenüberstellung.

Fülle die leeren Felder der Tabelle aus.

altes Problem	Lösung	neues Problem	Lösung
Steigung einer Geraden y = mx + b	konstante Steigung m in jedem Punkt der Geraden	Steigung in einem bestimmten Punkt (x0\|f(x0)) der Kurve	Die Steigung der Kurve entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0\|f(x0)).
Krümmung eines Kreises mit dem Radius r	konstante Krümmung $k=\frac{1}{r}$ in jedem Punkt des Kreises

Aufgabe 2

Gegeben sind einige Funktionen und ausgewählte Punkte auf ihrem Graphen. Berechnen Sie mit Hilfe der Formel $k=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}$ die Krümmung dieser Funktionen in den gegebenen Punkten.

a) $f_{1}(x)=3x^{2}$ $P(2|12)$

b) $f_{2}(x)=x^{3}$ $P_{1}(1|1)$ $P_{2}(2|8)$

c) $f_{3}(x)=sin(x)$ $P(\frac{pi}{2}|1)$

Aufgabe 3

Jetzt soll für die Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{3}$ und den Punkt $P(1|1)$ das Verfahren aus der Diashow von Seite 5 rechnerisch durchgeführt werden. Gehe dazu folgendermaßen vor:

Stelle zuerst die Gleichungen der Normalen in P(1|1) und $Q(x_{n}|x_{n}^{3})$ auf. Für die Normale in Q muss sich die Gleichung $y=-\frac{1}{3x_{n}^{2}}\cdot x+x_{n}^{3}+\frac{1}{3x_{n}}$ ergeben.
Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes $(x_{s}|y_{s})$ beider Normalen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des "Durchschnittskreises" für die Punkte P und Q. Man erhält $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{1-x_{n} ^{2}}$ .
In einem weiteren Schritt muss sich jetzt der Punkt Q dem Punkt P annähern, d.h. es muss sich $x_{n}$ dem Wert 1 nähern. Der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 ist aber bei dem angegebenen Bruch nicht möglich, weil der Nenner sich der Zahl Null nähern würde. Als muss der Nenner so umgeformt werden, dass der Grenzübergang anschließend möglich ist. Nach der 3. binomischen Formel kann man $x_{s}$ als $x_{s}=\frac{3x_{n}^{5}-4x_{n}^{2}+x_{n}}{(1-x_{n})\cdot (1+x_{n})}$ . schreiben. Führe anschließend eine Polynomdivision des Zählers durch $1-x_{n}=-x_{n}+1$ durch.
Danach bleibt ein Term der Form $x_{s}=\frac{...}{(1+x_{n})}$ übrig. Für diesen Term ist der Grenzübergang $x_{n}$ gegen 1 möglich, weil sich der Nenner nicht mehr dem Wert Null nähert. Wenn du richtig gerechnet hast, muss sich für den Grenzwert und damit die x-Koordinate des Mittelpunktes des Schmiegkreises der Wert - 4 ergeben.
Berechne zum Schluss auch die y-Koordinate des Mittelpunktes und den Krümmungsradius r als Abstand zwischen diesem Punkt sowie P(1|1). Der Radius r muss mit demjenigen Wert übereinstimmen, der sich auch aus unserer Formel $r = \frac{(1 + f'(x)^{2})^{\frac{3}{2}}}{f''(x)}$ ergeben hat.

Aufgabe 4

Es gibt auch Übergangsstücke der Form $f(x)=a\cdot x^{3}$ für einen Kurvenradius von 150 m. Berechne mit Hilfe des Newtonverfahrens auch für diesen Radius den Koeffizienten a und prüfe, inwieweit dieser Wert mit dem alten Ergebnis von $a=\frac{1}{42950}$ übereinstimmt.

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Geometrisches Verfahren zur Bestimmung des Schmiegkreises

Bisher hast du den Schmiegkreis nur durch Ausprobieren gefunden. Nun wollen wir dir helfen, eine systematische Lösung zur Bestimmung des Schmiegkreises zu finden.

Entstehung des Schmiegkreises

Ordne die Buchstaben den einzelnen Entstehungsschritten zu.

Weiteres Vorgehen

Während wir bisher den Schmiegkreis nur "per Augenmaß" ermitteln konnten, haben wir jetzt ein geometrisches Verfahren gefunden, den Schmiegkreis systematisch zu bestimmen.

Mathematiker sind aber oft erst dann zufrieden, wenn sie auch eine Formel gefunden haben, mit deren Hilfe sie die Krümmung in einem Punkt des Funktionsgraphen berechnen können.

Diese Formel wollen wir dir auf der nächsten Seite erklären.

Zu Beginn betrachten wir eine Normalparabel in einem Koordinatensystem.

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An dieser Parabel legen wir an zwei Punkten ihre entsprechenden Tangenten an. Im Folgenden werden wir die Krümmung im blauen Punkt bestimmen.

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Als nächstes werden die Normalen der Tangenten in den jeweiligen Punkten bestimmt und deren Schnittpunkt markiert.

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Der Übersicht wegen verbergen wir die Tangenten und konzentrieren uns auf die Normalen und ihren Schnittpunkt.

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Um diesen Schnittpunkt zeichnen wir einen Kreis, der z.B. durch den blauen Punkt geht.

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Zu guter Letzt führen wir den schwarzen Punkte so nahe wie möglich an den blauen und erhalten somit einen sehr genauen Schmiegkreis am blauen Punkt.

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