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Die Monotonie der Ableitung $f'(x)$ kann wiederum von ihrer Ableitung $f''(x)$ abgelesen werden (siehe Monotonie-Kriterium).

Konvexitäts-Kriterium

Die zweimal differenzierbare Funktion $f(x)$ ist auf dem Intervall $I$ genau dann konvex, wenn für ihre zweite Ableitung $f''(x)\ge 0$ auf $I$ gilt. Sie ist genau dann konkav, wenn $f''(x)\le 0$ auf $I$ gilt.

Betrachten Sie wiederum das Beispiel $f(x)=x^3-x$ . Die zweite Ableitung dieser Funktion ist $f''(x)=6x$ . Sie ist positiv rechts vom Ursprung, d.h. dort, wo $f(x)$ konvex ist. Links vom Ursprung ist sie negativ, also dort, wo $f(x)$ konkav ist.

Der Ursprung ist in unserem Beispiel dadurch ausgezeichnet, daß in einer linksseitigen Umgebung desselben die Funktion konkav und in einer rechtsseitigen Umgebung konvex ist.

Definition

Ein Punkt $x_0$ heißt Wendepunkt der Funktion $f(x)$ , wenn das Krümmungs-Verhalten der Funktion beim Durchgang durch diesen Punkt von konvex zu konkav oder von konkav zu konvex wechselt.

Nullstellen der zweiten Ableitung sind Kandidaten für Wendepunkte.

Wendepunkt-Kriterium

Ein Punkt $x_0$ ist genau dann ein Wendepunkt von $f(x)$ , wenn er Nullstelle der zweiten Ableitung $f''(x)$ ist und wenn $f''(x)\ge 0$ in einer linksseitigen Umgebung von $x_0$ und $f''(x)\le 0$ in einer rechtsseitigen Umgebung von $x_0$ gilt, oder umgekehrt.

Hier können Sie selbst Funktionen eingeben und auf ihre Krümmungseigenschaften untersuchen:

Vorschläge