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Motivation

Betrachten wir ein kubisches Polynom

$\begin{equation*} f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0. \end{equation*}$

Sind die Koeffizienten $a_0, a_1, a_2, a_3$ gegeben, so ist dadurch der Graph des Polynoms bestimmt. Können wir auch umgekehrt die Koeffizienten des Polynoms bestimmen, wenn uns nur der Graph gegeben ist?

Herleitung

Hier ist eine statische Version.

Allgemeiner Fall

Für ein beliebiges Polynom n-ten Grades

$\begin{equation*} f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \end{equation*}$

und eine Ableitungsordnung $0\le i\le n$ gilt

$\begin{equation*} f^{(i)}(x) = ... + i!\,a_i \end{equation*}$

und deshalb ist

$\begin{equation*} \frac{f^{(i)}(0)}{i!} = a_i . \end{equation*}$

Man kann diese Formeln auch benutzen, um zu vorgegebenen Werten von $f^{(i)}(0)$ , $0\le i\le n$ , das dadurch eindeutig bestimmte Polynom vom Grad $n$ zu finden.

In dieser Demonstration sind die vier Punkte beweglich auf der y-Achse und geben die Werte $f(0)$ , $f'(0)$ , $f''(0)$ und $f'''(0)$ an. Außerdem sind der Graph des Polynoms dritten Grades mit diesen vorgegebenen Ableitungswerten sowie die Graphen seiner Ableitungen bis zur Ordnung 3 dargestellt. Die Graphen gehen natürlich durch die zugehörigen Punkte.

Beobachtungen:

Bewegt man den blauen Punkt ( $f(0)$ ), so verschiebt sich nur der Graph des Polynoms. Die anderen Graphen bleiben unbeeinflußt.
Verschiebt man den roten Punkt ( $f'(0)$ ), so verschiebt sich der Graph von $f'(x)$ und die Steigung des blauen Graphen bei 0 ändert sich.
Verschiebt man den grünen Punkt, so wird die grüne Kurve verschoben, die rote Kurve ändert bei 0 ihre Steigung und die blaue Kurve ändert sich erst in einiger Entfernung von 0. Ihre Steigung bei 0 bleibt unverändert.
Bewegt man den rosa Punkt, so ändert sich die Steigung der grünen Kurve und die rote Kurve ändert ihre Form, aber nicht die Steigung bei 0. Die blaue Kurve ändert sich bei 0 noch viel weniger, sondern erst in ziemlicher Entfernung von 0.