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Monotonie-Kriterium

Die Funktion $f(x)$ sei auf dem Intervall $I$ differenzierbar. Sie ist genau dann auf $I$ monoton wachsend, wenn $f'(x)\ge 0$ auf $I$ gilt. Die Funktion ist genau dann auf $I$ monoton fallend, wenn $f'(x)\le 0$ auf $I$ gilt.

Beweis

Nur für den Fall des monotonen Wachstums.

Sei $f(x)$ monoton wachsend und $x_0\in I$ . Falls $x_0$ nicht der rechte Endpunkt von $I$ ist, so wähle man $h>0$ so klein, daß $x_0+h\in I$ ist.

Für die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x_0+h,f(x_0+h))$ gilt dann stets

$\begin{equation*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \ge 0 . \end{equation*}$

Läßt man $h$ gegen $0$ konvergieren, so konvergiert die linke Seite gegen $f'(x_0)$ . Die Ungleichung bleibt auch für den Grenzwert erhalten, also ist $f'(x_0)\ge 0$ .

Falls $x_0$ der rechte Endpunkt von $I$ ist, so wähle man $h$ negativ und lasse es gegen $0$ konvergieren.

In dieser Demonstration sind der rote und grüne Punkt beweglich. Die Sekante (grün) hat immer nicht-negative Steigung, da die Funktion monoton wächst. Bewegt man den grünen Punkt auf den roten Punkt zu, so nähert sich die Sekante der Tangente an. Diese hat also auch nicht-negative Steigung.

Jetzt sei $f'(x)\ge 0$ auf $I$ . Um das monotone Wachstum von $f(x)$ nachzuweisen, wählen wir $x_1, x_2 \in I$ mit $x_1<x_2$ . Wir wollen zeigen, daß die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_1,f(x_1))$ und $(x_2,f(x_2))$ nicht-negativ ist, aber wir wissen nur, daß die Tangenten an den Graph von $f(x)$ nicht-negative Steigung haben. Eine Verbindung stellt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung her.

Er besagt, daß es eine Stelle $x_1<a<x_2$ gibt, sodaß die Tangente in $(a,f(a))$ und die Sekante die gleiche Steigung haben, d.h.

$\begin{equation*} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(a) \ge 0 . \end{equation*}$

Da der Nenner positiv ist, muß der Zähler $\ge 0$ sein, d.h. $f(x_1)\le f(x_2)$ .

In dieser Demonstration sind die beiden grünen Punkte beweglich. Unabhängig von ihrer Lage wird der rote Punkt auf dem Graphen stets so berechnet, daß die zugehörige Tangente (rot) parallel zur Sekante (grün) ist. Da die Tangente immer nicht-negative Steigung hat, gilt das Gleiche für die Sekante.