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Lindenmayersysteme

Lindenmayersysteme

Raumfüllende Kurven

jetzt kommt's!

Kurven gemäß der mathematischen Definition können ganz anders aussehen als "krumme Strecken". Der Mathematiker David Hilbert konstruierte im Jahre 1891 eine Kurve, die ein Quadrat vollständig ausfüllt!
Und das geht mit einem L-System.

L-System zur Hilbertkurve

Z={+,−,F,X,Y},
α = 90o

Die Kröte ignoriert X und Y.

Schau Dir ein paar Iterationen an.

Kann man unendliche viele Iterationen durchführen?

Im Experiment natürlich nicht. Mit den Werkzeugen der Mathematik schon, was wir hier aber nicht im Detail erläutern können. Als Ergebnis ergibt sich die Hilbertkurve.

Hilbertkurve

  • Die Hilbertkurve H entsteht durch Grenzübergang, wenn man im obigen Lindenmayersystem
    • die Zahl der Iterationen gegen unendlich gehen lässt.
    und dabei
    • in jedem Schritt (zum Zwecke der Skalierung) die Länge d halbiert
  • H ist eine stetige Abbildung von[ 0,1] auf das Einheitsquadrat. Jeder Punkt des Quadrates liegt im Bild von H.
Wegen der zweiten Eigenschaft bezeichnet man H als raumfüllende Kurve.

David Hilbert (1862-1943)

Das ist David Hilbert, einer der ganz großen Mathematiker. Bewegst Du die Maus auf das Foto, erscheint ein Bild "seiner" Kurve.

Weil die Hilbertkurve das ganze Quadrat ausfüllt, sieht sie nicht besonders spektakulär aus. Man erkennt mehr, wenn man sie wieder als Deformation des Intervalls [0,1] animiert.

wichtiger Hinweis zur Interpretation

Gib eine Zahl von Punkten an und beobachte dann die Deformation.


zu 1.): die Quadranten

zu 2.): die Punkte

zu 3.)

Hier sind vier Fragen zur Hilbertkurve, die Du mit den Iterationen des L-Systems oder der Animation der Deformation beantworten sollst.

1.) In welcher Reihenfolge durchläuft die Hilbertkurve die vier Quadranten des Einheitsquadrates?)
 

2.) Gib die Reihenfolge an, in welcher die roten Punkte von der Hilbertkurve "besucht" werden.
 

3.) Wie lang ist die Hilbertkurve?

4.) Gibt es Punkte im Quadrat,
die von der Hilbertkurve mehrfach
"besucht" werden?