Zahl Pi XXL | MathePrisma

Definition

Wir betrachten einen Kreis vom Radius $r$ , Umfang $U$ und Flächeninhalt $A$ . Dann ist das Verhältnis

$\begin{equation*} \pi_1 = \frac{U}{2r} \end{equation*}$

seines Umfangs zu seinem Durchmesser unabhängig von der Größe des Kreises. Das Gleiche gilt für das Verhältnis

$\begin{equation*} \pi_2 = \frac{A}{r^2} \end{equation*}$

seines Flächeninhalts zum Quadrat seines Radius.

$\pi_1=\pi_2?$

Das liefert zwei geometrische Definitionen von $\pi$ . Aber warum kommt in beiden Fällen der gleiche Wert heraus, d.h. warum ist $\pi_1=\pi_2$ ?

Beweis

Der folgende Beweis ist zwar nicht mathematisch exakt, aber sehr anschaulich: Wir zerschneiden den Kreis in flächengleiche Sektoren. Diese legen wir nebeneinander abwechselnd mit der Spitze nach oben und unten:

Auf diese Weise erhalten wir eine geometrische Figur mit dem Flächeninhalt $A$ , die einem Rechteck der Höhe $r$ und Breite $U/2$ nahekommt. Die Annäherung ist um so besser, je feiner die Einteilung in Sektoren ist (Animation).

Nach der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks ist also

$\begin{equation*} r\cdot\frac{U}{2} \approx A \end{equation*}$

und im Grenzfall immer feinerer Sektoren

$\begin{equation*} r\cdot\frac{U}{2} = A . \end{equation*}$

$\pi_1=\pi_2 !$

Also ist

$\begin{equation*} \pi_1 = \frac{U}{2r} = \frac{A}{r^2} = \pi_2 . \end{equation*}$