Parkettierungen
"p4m statt 0-8-15"
Autor(en): Ulrich Schwebinghaus - Juli 2007
Kapitelübersicht
Kacheln selbst herstellen
Parkette mit einfacher Wiederholung
Parkette mit Pfiff, Escherkacheln
Stärker mathematisch orientiertes Kapitel
Spielräume für die Kunst
Punkte zählen und Quellen sichten
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
Fertige Bilder oder Fotos von Mosaiken (was ist ein Mosaik?), Parkettierungen und Objekten mit Symmetrien aus deiner Umgebung an. Ordne die Bilder nach selbstgewählten Kriterien, jedoch orientiert an den gelesenen Informationen im Modul.
Aufgabe 2
Zeichne mit einem Zeichenprogramm oder von Hand ein Escherparkett der Art ''Strom und Gegenstrom''.
Aufgabe 3
Untersuche das Parkett I (Vögel) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Beschreibe die Eigenschaften dieses Parkettsteins und notiere, was zu tun ist, wenn man eine gleichartige Parkettierung mit einem Zeichenprogramm oder von Hand entwerfen will.
Aufgabe 4
Untersuche das Parkett II (Schmetterlinge) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Damit die Aufgabe nicht zu schwierig wird: Es kommen je eine Drehung um 60° und um 120° vor und außerdem eine verhältnismäßig kurze Linie, die eine Drehung um 180° als Deckabbildung besitzt.
Aufgabe 5
Stelle Formeln auf für Gleitspiegelungen mit dem Gleitbetrag g
- an der y-Achse
- an der x-Achse
und zeichne die Gehspur eines Menschen der Schrittweite 80 cm mit 30 cm Fußabstand im Maßstab 1:20.
Aufgabe 6
Zu welcher Ornamentgruppe gehören Parkettierungen, die mit einfarbigen
- quadratischen Kacheln
- rechteckigen Kacheln (
)
hergestellt werden?
Aufgabe 7
Untersuche M.C. Eschers ''Kacheltrick'', den du auf der Nebenpfadseite von Seite 8 findest. Wie ist die Basiskachel aufgebaut? Wie wird die Parkettierung erzeugt?
Aufgabe 8
Wie Heesch und Kienzle gezeigt haben, kann man Parkettierungen aus Parkettsteinen aufbauen, die einer von 28 Klassen angehören. Zu Ehren M.C. Eschers werden diese seit 1994 auch die Escher-Parkett-Klassen genannt und von EP1 bis EP28 nummeriert (die gleichen Kacheln aber leider nicht die gleiche Nummerierungsfolge wie bei Heesch/Kienzle).
- Im Modul hast du die Kachel kennengelernt, mit der eine Parkettierung der Art ''Strom und Gegenstrom'' aufgebaut wurde. In welche Ornamentklasse fällt eine solche Parkettierung im Allgemeinen? Welche anderen Klassen können durch zusätzliche Besonderheiten der Kachel angenommen werden?
- Eine andere Parkettstein-Klasse wird folgendermaßen beschrieben:
Drehe die willkürliche Linie AB in A um 90° in die Lage AC. D ist der vierte Punkt des Quadrates ABDC. Wähle eine zweite willkürliche Linie CD und drehe sie in D um 90° in die Lage DB.
Welches Beispiel findest du dafür im Modul?
In welche Ornamentklasse fällt eine mit diesem Stein aufgebaute Parkettierung, falls es keine zusätzlichen Besonderheiten gibt?
Aufgabe 9
Nur für Studenten: Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Hintereinanderausführung zweier Transformationen aus der Menge der 10 Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte (siehe Unterseite zu Seite 10). Bestimme eine Teilmenge von möglichst wenig Transformationen aus dieser Menge, die bereits die ganze Menge erzeugen.
Aufgabe 10
Nur für Studenten und außerdem schwierig: Mache die Kristallographische Beschränkung plausibel (siehe Seite 10). Ein Tipp: Bei falschen Winkeln wird die Bedingung verletzt, dass es einen minimalen Verschiebungsbetrag geben muss.
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Inhalt
Die Schönheit der Mathematik zeigt sich in ihren Strukturen. Betrachtet man symmetrische Objekte aus Kunst, Natur und Technik, wird man auch auf der optischen Ebene davon angesprochen.
In diesem Modul werden spezielle symmetrische Schöpfungen, die Flächenornamente, vorgestellt und untersucht. Der niederländische Grafiker M.C. Escher hat sich künstlerisch dieses Themas angenommen und zahlreiche Flächenornamente geschaffen, die auch als Beispiele herangezogen werden. Nach der Gestaltung von Flächenornamenten mit im Modul eingebauten Maschinen wird schrittweise eine Klassifizierung vorgenommen. Am Ende sollte man in der Lage sein, beim Anschauen eines Flächenornaments einen von siebzehn möglichen Typen zu erkennen, der die vorliegende Symmetriestruktur beschreibt.
Im Nebenpfad wird die Mathematik auf Oberstufenniveau vertieft.
Dieses Modul hat eine Beziehung zum Modul "Bandornamente".
Glossar
kleiner als 360° wieder genau gleich aussieht, also deckungsgleich zur Ausgangsfigur ist. Man spricht von n-zähliger Drehsymmetrie, wenn für den Winkel 
° gilt. Die Mittelpunkte der Figuren bilden das jeweilige Drehzentrum.
