Parkettierungen | MathePrisma

Parkettierungen

Parkette mit Symmetrien

Einleitung

Einfache Parkette

Symmetrien

Systematik

Metamorphosen

Auswertung

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Fertige Bilder oder Fotos von Mosaiken (was ist ein Mosaik?), Parkettierungen und Objekten mit Symmetrien aus deiner Umgebung an. Ordne die Bilder nach selbstgewählten Kriterien, jedoch orientiert an den gelesenen Informationen im Modul.

Aufgabe 2

Zeichne mit einem Zeichenprogramm oder von Hand ein Escherparkett der Art ''Strom und Gegenstrom''.

Aufgabe 3

Untersuche das Parkett I (Vögel) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Beschreibe die Eigenschaften dieses Parkettsteins und notiere, was zu tun ist, wenn man eine gleichartige Parkettierung mit einem Zeichenprogramm oder von Hand entwerfen will.

Aufgabe 4

Untersuche das Parkett II (Schmetterlinge) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Damit die Aufgabe nicht zu schwierig wird: Es kommen je eine Drehung um 60° und um 120° vor und außerdem eine verhältnismäßig kurze Linie, die eine Drehung um 180° als Deckabbildung besitzt.

Aufgabe 5

Stelle Formeln auf für Gleitspiegelungen mit dem Gleitbetrag g

an der y-Achse
an der x-Achse

und zeichne die Gehspur eines Menschen der Schrittweite 80 cm mit 30 cm Fußabstand im Maßstab 1:20.

Aufgabe 6

Zu welcher Ornamentgruppe gehören Parkettierungen, die mit einfarbigen

quadratischen Kacheln
rechteckigen Kacheln ( $a \ne b$ )

hergestellt werden?

Aufgabe 7

Untersuche M.C. Eschers ''Kacheltrick'', den du auf der Nebenpfadseite von Seite 8 findest. Wie ist die Basiskachel aufgebaut? Wie wird die Parkettierung erzeugt?

Aufgabe 8

Wie Heesch und Kienzle gezeigt haben, kann man Parkettierungen aus Parkettsteinen aufbauen, die einer von 28 Klassen angehören. Zu Ehren M.C. Eschers werden diese seit 1994 auch die Escher-Parkett-Klassen genannt und von EP1 bis EP28 nummeriert (die gleichen Kacheln aber leider nicht die gleiche Nummerierungsfolge wie bei Heesch/Kienzle).

Im Modul hast du die Kachel kennengelernt, mit der eine Parkettierung der Art ''Strom und Gegenstrom'' aufgebaut wurde. In welche Ornamentklasse fällt eine solche Parkettierung im Allgemeinen? Welche anderen Klassen können durch zusätzliche Besonderheiten der Kachel angenommen werden?
Eine andere Parkettstein-Klasse wird folgendermaßen beschrieben:
Drehe die willkürliche Linie AB in A um 90° in die Lage AC. D ist der vierte Punkt des Quadrates ABDC. Wähle eine zweite willkürliche Linie CD und drehe sie in D um 90° in die Lage DB.
Welches Beispiel findest du dafür im Modul?
In welche Ornamentklasse fällt eine mit diesem Stein aufgebaute Parkettierung, falls es keine zusätzlichen Besonderheiten gibt?

Aufgabe 9

Nur für Studenten: Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Hintereinanderausführung zweier Transformationen aus der Menge der 10 Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte (siehe Unterseite zu Seite 10). Bestimme eine Teilmenge von möglichst wenig Transformationen aus dieser Menge, die bereits die ganze Menge erzeugen.

Aufgabe 10

Nur für Studenten und außerdem schwierig: Mache die Kristallographische Beschränkung plausibel (siehe Seite 10). Ein Tipp: Bei falschen Winkeln wird die Bedingung verletzt, dass es einen minimalen Verschiebungsbetrag geben muss.

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Vervielfältigungs-Prinzip

Wir halten fest: Die hier betrachteten Parkettierungen lassen sich immer erzeugen durch

Symmetrieoperationen, die aus der Basiskachel die anders liegenden Kacheln erzeugen,
zwei voneinander unabhängige Verschiebungen, die das Parkett in der Ebene ausdehnen.

Vogel-Karussell

Nach M.C. Eschers eigener Aussage (Graphik und Zeichungen, 1971) kommt der Gleitspiegelung in vielen seiner Arbeiten zur ''regelmäßigen Flächenaufteilung'' eine besondere Bedeutung zu.

Das Bild zeigt eine Parkettierung mit einer eingezeichneten Gleitspiegelungsachse und farblich hervorgehobene Beispielkacheln, die durch die Spiegelung auseinander hervorgehen.

Spiegeln und Verschieben

Eine Gleitspiegelung (Schubspiegelung) ist eine geometrische Symmetrieoperation, die aus einer Achsenspiegelung und einer Verschiebung parallel zur Achse besteht. Diese Operationen werden hintereinander ausgeführt.

Operationen erkennen

Ausflug?

Noch Lust auf einen weiteren Kacheltrick von M.C. Escher? Ansonsten geht es jetzt systematisch weiter...