Parkettierungen

Flächenornamente systematisch

Einleitung

Einfache Parkette

Symmetrien

Systematik

Metamorphosen

Auswertung

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Fertige Bilder oder Fotos von Mosaiken (was ist ein Mosaik?), Parkettierungen und Objekten mit Symmetrien aus deiner Umgebung an. Ordne die Bilder nach selbstgewählten Kriterien, jedoch orientiert an den gelesenen Informationen im Modul.

Aufgabe 2

Zeichne mit einem Zeichenprogramm oder von Hand ein Escherparkett der Art ''Strom und Gegenstrom''.

Aufgabe 3

Untersuche das Parkett I (Vögel) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Beschreibe die Eigenschaften dieses Parkettsteins und notiere, was zu tun ist, wenn man eine gleichartige Parkettierung mit einem Zeichenprogramm oder von Hand entwerfen will.

Aufgabe 4

Untersuche das Parkett II (Schmetterlinge) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Damit die Aufgabe nicht zu schwierig wird: Es kommen je eine Drehung um 60° und um 120° vor und außerdem eine verhältnismäßig kurze Linie, die eine Drehung um 180° als Deckabbildung besitzt.

Aufgabe 5

Stelle Formeln auf für Gleitspiegelungen mit dem Gleitbetrag g

an der y-Achse
an der x-Achse

und zeichne die Gehspur eines Menschen der Schrittweite 80 cm mit 30 cm Fußabstand im Maßstab 1:20.

Aufgabe 6

Zu welcher Ornamentgruppe gehören Parkettierungen, die mit einfarbigen

quadratischen Kacheln
rechteckigen Kacheln ( $a \ne b$ )

hergestellt werden?

Aufgabe 7

Untersuche M.C. Eschers ''Kacheltrick'', den du auf der Nebenpfadseite von Seite 8 findest. Wie ist die Basiskachel aufgebaut? Wie wird die Parkettierung erzeugt?

Aufgabe 8

Wie Heesch und Kienzle gezeigt haben, kann man Parkettierungen aus Parkettsteinen aufbauen, die einer von 28 Klassen angehören. Zu Ehren M.C. Eschers werden diese seit 1994 auch die Escher-Parkett-Klassen genannt und von EP1 bis EP28 nummeriert (die gleichen Kacheln aber leider nicht die gleiche Nummerierungsfolge wie bei Heesch/Kienzle).

Im Modul hast du die Kachel kennengelernt, mit der eine Parkettierung der Art ''Strom und Gegenstrom'' aufgebaut wurde. In welche Ornamentklasse fällt eine solche Parkettierung im Allgemeinen? Welche anderen Klassen können durch zusätzliche Besonderheiten der Kachel angenommen werden?
Eine andere Parkettstein-Klasse wird folgendermaßen beschrieben:
Drehe die willkürliche Linie AB in A um 90° in die Lage AC. D ist der vierte Punkt des Quadrates ABDC. Wähle eine zweite willkürliche Linie CD und drehe sie in D um 90° in die Lage DB.
Welches Beispiel findest du dafür im Modul?
In welche Ornamentklasse fällt eine mit diesem Stein aufgebaute Parkettierung, falls es keine zusätzlichen Besonderheiten gibt?

Aufgabe 9

Nur für Studenten: Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Hintereinanderausführung zweier Transformationen aus der Menge der 10 Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte (siehe Unterseite zu Seite 10). Bestimme eine Teilmenge von möglichst wenig Transformationen aus dieser Menge, die bereits die ganze Menge erzeugen.

Aufgabe 10

Nur für Studenten und außerdem schwierig: Mache die Kristallographische Beschränkung plausibel (siehe Seite 10). Ein Tipp: Bei falschen Winkeln wird die Bedingung verletzt, dass es einen minimalen Verschiebungsbetrag geben muss.

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M. C. Escher, Regelmatige vlakverdeling, 1958

''Das Lesen von Fachliteratur... die Aufstellung einer eigenen Laientheorie... hat das Entwerfen neuer Motive zwar allmählich etwas weniger schwer als zu Anfang gemacht, aber es bleibt doch trotzdem eine äußerst anstrengende Beschäftigung...'' [vollständiges Zitat lesen]

Teile und herrsche...

Escher hat also eine mathematische Theorie formuliert, um seine künstlerischen Ziele besser verwirklichen zu können. Seine zahlreichen Parkettierungszeichnungen hat er in Klassen (Kacheltypen) mit gewissen Symmetriemerkmalen eingeteilt. Drei dieser Kacheltypen konntest du im Modul bereits kennen lernen.

Vierecksymmetrien

Haus der Vierecke als Beispiel einer Klassenbildung:
Hier werden Vierecke nach der Art und Anzahl ihrer Spiegel-Symmetrien klassifiziert.

In der Alhambra

Eschers Klassifizierung aus der Sicht eines Künstlers, der die Parkettierungen erzeugt, untersuchen wir hier nicht genauer. Wir wechseln zur Sicht einer Person, die eine fertige Parkettierung analysieren will. Sucht man nämlich nach Symmetrieoperationen, die das gesamte Parkett bei ihrer Anwendung gleich aussehen lassen, findet man ein System von genau 17 Ornamentgruppen. Damit werden wir uns ab hier genauer beschäftigen. Dieses System hat u.a. Anwendung bei der Untersuchung von Kristallstrukturen gefunden.

Eine Unterseite geht näher auf alternative Klassifizierungen ein.

Die Diashow zeigt ein Beispiel für jede Klasse. Einige Fotos stammen aus der Alhambra.

Symmetrische 17

Symbol-Erklärung

Alles nur Hieroglyphen?

Wie die Bezeichnungen der Ornamentgruppen zustande kommen, wird auf der nächsten Seite geklärt. Wenn es dir dabei nach ein paar Abschnitten zu theoretisch wird, kannst du auch zu den Metamorphosen vorrücken.