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Endliche Gruppen

Nur für Studenten und Mathe-Genießer:

Creative-Commons-Lizenz, © Foto: Apfelherz

Die 10 Symmetrietransformationen (Deckabbildungen) einer idealisierten Apfelblütenform sind ein gutes Beispiel einer endlichen Gruppe $(G,\circ)$ .

Spiegelt man die Figur an einer der eingezeichneten Achsen, erscheint das Bild unverändert $(s_1, ..., s_5).$
Dreht man die Blüte mit $\alpha=n \cdot \frac{360}{5}$ °, $n=1 ... 5$ um das Zentrum, verändert sich die Gestalt ebenfalls nicht $(d_1, ..., d_5).$

Ausgangsbild

Geometrische Operationen an der Apfelblüte. Der Buchstabe F dient nur zur Veranschaulichung der jeweiligen Operation.

Definition

Eine Menge von Elementen heißt Gruppe, wenn eine Verknüpfung $\circ$ definiert ist, so dass $q_j\circ q_k\in G$ (zuerst $q_k$ und dann $q_j$ anwenden) für alle Paare $q_j,q_k$ erfüllt ist und die folgenden Eigenschaften gelten:

Es gilt das Assoziativgesetz für je drei Elemente aus $G$ : $(q_j\circ q_k)\circ q_l=q_j\circ (q_k\circ q_l)$
Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ , so dass $q_j\circ e=q_j$ und $e\circ q_j=q_j$ für alle $q_j\in G$
Für jedes $q_j\in G$ gibt es ein inverses Element $q_j^{-1}\in G$ mit der Eigenschaft $q_j^{-1}\circ q_j=e$

Das neutrale Element $e$ in der Gruppe der Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte ist die Transformation $d_1$ .

Du kannst selbst prüfen, ob die anderen Bedingungen erfüllt sind. Ein paar Beispiele:

Inverses Element zu $d_2$ ist das Element $d_5$ , denn $d_5(d_2(F))=d_2(d_5(F)=F$ , also die Hintereinanderausführung einer 288°-Drehung und einer 72°-Drehung der Blüte ergibt wieder die Ausgangsfigur $F$ .
Jede der Spiegelungen $s_i$ ist zu sich selbst invers, denn die Spiegelung der Spiegelung an derselben Achse ergibt wieder das Ausgangsbild $(s_i\circ s_i=e=d_1)$ .
Die Verknüpfung zweier unterschiedlicher Spiegelungen ergibt eine Drehung, z.B. gilt $s_5\circ s_4=d_4$ .

Übrigens ist die Verknüpfung in unserer Gruppe nicht kommutativ, denn eine andere Reihenfolge der Transformationen liefert in vielen Fällen auch ein anderes Ergebnis

, z.B. gilt $s_4\circ s_5=d_3$ , demnach ist $s_5\circ s_4 \ne s_4\circ s_5$ .

Interessant ist auch die Tatsache, dass die fünf Drehungen zusammen mit der Verknüpfung eine zyklische Untergruppe von $(G,\circ)$ darstellen, denn erstens sind für diese abgeschlossene Teilmenge alle Gruppenbedingungen erfüllt und zweitens lässt sich jedes Element aus der Menge der Drehungen durch eine mehrfache Ausführung der 72°-Drehung ersetzen.

72° geht gar nicht?

Es handelt sich nicht um einen Widerspruch zur Kristallographischen Restriktion! Nicht verwechseln: Hier haben wir eine symmetrische Figur betrachtet und kein prinzipiell unendliches Flächenornament.

Gruppen-Übung

Den Gruppenausflug schließen wir mit ein paar Fragen ab. Bei Auswahlfragen kann es mehr als eine richtige Antwort geben. Die oben gezeigten Gruppenelemente einblenden

Die Spiegelungen der Apfelblüte bilden keine Untergruppe, denn