Parkettierungen | MathePrisma

Parkettierungen

Einleitung

Einleitung

Einfache Parkette

Symmetrien

Systematik

Metamorphosen

Auswertung

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Fertige Bilder oder Fotos von Mosaiken (was ist ein Mosaik?), Parkettierungen und Objekten mit Symmetrien aus deiner Umgebung an. Ordne die Bilder nach selbstgewählten Kriterien, jedoch orientiert an den gelesenen Informationen im Modul.

Aufgabe 2

Zeichne mit einem Zeichenprogramm oder von Hand ein Escherparkett der Art ''Strom und Gegenstrom''.

Aufgabe 3

Untersuche das Parkett I (Vögel) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Beschreibe die Eigenschaften dieses Parkettsteins und notiere, was zu tun ist, wenn man eine gleichartige Parkettierung mit einem Zeichenprogramm oder von Hand entwerfen will.

Aufgabe 4

Untersuche das Parkett II (Schmetterlinge) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Damit die Aufgabe nicht zu schwierig wird: Es kommen je eine Drehung um 60° und um 120° vor und außerdem eine verhältnismäßig kurze Linie, die eine Drehung um 180° als Deckabbildung besitzt.

Aufgabe 5

Stelle Formeln auf für Gleitspiegelungen mit dem Gleitbetrag g

an der y-Achse
an der x-Achse

und zeichne die Gehspur eines Menschen der Schrittweite 80 cm mit 30 cm Fußabstand im Maßstab 1:20.

Aufgabe 6

Zu welcher Ornamentgruppe gehören Parkettierungen, die mit einfarbigen

quadratischen Kacheln
rechteckigen Kacheln ( $a \ne b$ )

hergestellt werden?

Aufgabe 7

Untersuche M.C. Eschers ''Kacheltrick'', den du auf der Nebenpfadseite von Seite 8 findest. Wie ist die Basiskachel aufgebaut? Wie wird die Parkettierung erzeugt?

Aufgabe 8

Wie Heesch und Kienzle gezeigt haben, kann man Parkettierungen aus Parkettsteinen aufbauen, die einer von 28 Klassen angehören. Zu Ehren M.C. Eschers werden diese seit 1994 auch die Escher-Parkett-Klassen genannt und von EP1 bis EP28 nummeriert (die gleichen Kacheln aber leider nicht die gleiche Nummerierungsfolge wie bei Heesch/Kienzle).

Im Modul hast du die Kachel kennengelernt, mit der eine Parkettierung der Art ''Strom und Gegenstrom'' aufgebaut wurde. In welche Ornamentklasse fällt eine solche Parkettierung im Allgemeinen? Welche anderen Klassen können durch zusätzliche Besonderheiten der Kachel angenommen werden?
Eine andere Parkettstein-Klasse wird folgendermaßen beschrieben:
Drehe die willkürliche Linie AB in A um 90° in die Lage AC. D ist der vierte Punkt des Quadrates ABDC. Wähle eine zweite willkürliche Linie CD und drehe sie in D um 90° in die Lage DB.
Welches Beispiel findest du dafür im Modul?
In welche Ornamentklasse fällt eine mit diesem Stein aufgebaute Parkettierung, falls es keine zusätzlichen Besonderheiten gibt?

Aufgabe 9

Nur für Studenten: Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Hintereinanderausführung zweier Transformationen aus der Menge der 10 Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte (siehe Unterseite zu Seite 10). Bestimme eine Teilmenge von möglichst wenig Transformationen aus dieser Menge, die bereits die ganze Menge erzeugen.

Aufgabe 10

Nur für Studenten und außerdem schwierig: Mache die Kristallographische Beschränkung plausibel (siehe Seite 10). Ein Tipp: Bei falschen Winkeln wird die Bedingung verletzt, dass es einen minimalen Verschiebungsbetrag geben muss.

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Auswertung

Gefallen dir deine selbst erzeugten Kacheln?

Beim Bewegen der blauen Punkte, die die Form der Fliesen festgelegt haben, bestand völlige Freiheit. Wahrscheinlich bist du - neben der lückenlosen Rechteckfüllung - auch auf die Typen von gekachelten Wänden gestoßen, die in der Diashow gezeigt werden.

Selbst ist der Kachelmann

Parkettbilder

Hersteller von Fliesen haben meist das Ziel, eine beliebig ausgedehnte Ebene mit nur einer Kachelsorte lückenlos zu füllen.

Fische All M.C. Escher works © 2007 The M.C. Escher Company - the Netherlands. All rights reserved. Used by permission. www.mcescher.com

Der berühmte niederländische Grafiker und Künstler M.C. Escher hat sich nie mit diesem einfachen Ziel begnügt. Er baute seine ''Symmetriezeichnungen'' aus mehreren verschiedenen ''Motiven'' auf, die durch Drehung und Spiegelung auseinander hervorgehen. Im Bild gibt es beispielsweise zwei solche Motive, den hellen und den dunklen Fisch.

Für unsere Ziele benötigen wir folgende geometrische Begriffe:

Ein Polygon (Vieleck) ist eine geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Kantenzug gebildet wird. Wir beschränken uns hier auf Polygone, bei denen alle zugehörigen Kanten in einer Ebene liegen. In dem Experiment hast du ein solches Polygon festgelegt.

Kanten sind die Verbindungen je zweier Eckpunkte (Ecken). Unter einem Kantenzug versteht man eine Reihe von zusammenhängenden Kanten. Wir werden auch den Durchlaufsinn beachten, unterscheiden also z.B. die Kantenzüge ABC und CBA voneinander.

Die lückenlose und überlappungsfreie periodische Bedeckung der Ebene mit deckungsgleichen (kongruenten) Polygonen einer Sorte nennt man eine Parkettierung der Ebene.

Man spricht stattdessen manchmal auch von der regelmäßigen Flächenaufteilung. Übrigens werden die Teile einer Parkettierung in der Mathematik als Parkettsteine bzw. als Zerlegungsbereiche bezeichnet. Wir nennen sie kurz Kacheln. Die Kanten müssen auch nicht geradlinig sein, aber zunächst kann man sich die Betrachtung damit erleichtern.

Ein Begriff wird Programm

Ab sofort erzeugen wir Parkettierungen.

Die Ausgangssituation hat übliche rechteckige Kacheln gezeigt.

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Vielleicht warst du zu Beginn etwas unvorsichtig und hast durch eine ''exotische Kachel'' die Maschine aus dem Konzept gebracht. Das Durcheinander war nur durch Reset wieder aufzulösen...

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Eventuell ließen sich die Kacheln nicht passend aneinander legen und so entstand eine überlappende Bedeckung der Wand.

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Es kann aber auch gleichzeitig zu Lücken und Überlappungen gekommen sein.

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Du kannst die Überlappungen durch Umformungen vermieden haben, so dass nur Lücken entstanden sind.

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Wenn die Lücken regelmäßig sind, kann man sich vorstellen, dass sie durch zusätzliche Kachelsorten gefüllt werden könnten.

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Hast du es auch geschafft, sowohl die Lücken als auch die Überdeckungen zu vermeiden und eine passgenaue nicht rechteckige Kachel zu schaffen?

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