Parkettierungen

Parkette mit Symmetrien

Einleitung

Einfache Parkette

Symmetrien

Systematik

Metamorphosen

Auswertung

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Fertige Bilder oder Fotos von Mosaiken (was ist ein Mosaik?), Parkettierungen und Objekten mit Symmetrien aus deiner Umgebung an. Ordne die Bilder nach selbstgewählten Kriterien, jedoch orientiert an den gelesenen Informationen im Modul.

Aufgabe 2

Zeichne mit einem Zeichenprogramm oder von Hand ein Escherparkett der Art ''Strom und Gegenstrom''.

Aufgabe 3

Untersuche das Parkett I (Vögel) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Beschreibe die Eigenschaften dieses Parkettsteins und notiere, was zu tun ist, wenn man eine gleichartige Parkettierung mit einem Zeichenprogramm oder von Hand entwerfen will.

Aufgabe 4

Untersuche das Parkett II (Schmetterlinge) auf Seite 7 nach dem Aufbau des Parkettsteins, aus dem sich das gesamte Parkett (bis auf die Farbgestaltung) herstellen lässt. Damit die Aufgabe nicht zu schwierig wird: Es kommen je eine Drehung um 60° und um 120° vor und außerdem eine verhältnismäßig kurze Linie, die eine Drehung um 180° als Deckabbildung besitzt.

Aufgabe 5

Stelle Formeln auf für Gleitspiegelungen mit dem Gleitbetrag g

an der y-Achse
an der x-Achse

und zeichne die Gehspur eines Menschen der Schrittweite 80 cm mit 30 cm Fußabstand im Maßstab 1:20.

Aufgabe 6

Zu welcher Ornamentgruppe gehören Parkettierungen, die mit einfarbigen

quadratischen Kacheln
rechteckigen Kacheln ( $a \ne b$ )

hergestellt werden?

Aufgabe 7

Untersuche M.C. Eschers ''Kacheltrick'', den du auf der Nebenpfadseite von Seite 8 findest. Wie ist die Basiskachel aufgebaut? Wie wird die Parkettierung erzeugt?

Aufgabe 8

Wie Heesch und Kienzle gezeigt haben, kann man Parkettierungen aus Parkettsteinen aufbauen, die einer von 28 Klassen angehören. Zu Ehren M.C. Eschers werden diese seit 1994 auch die Escher-Parkett-Klassen genannt und von EP1 bis EP28 nummeriert (die gleichen Kacheln aber leider nicht die gleiche Nummerierungsfolge wie bei Heesch/Kienzle).

Im Modul hast du die Kachel kennengelernt, mit der eine Parkettierung der Art ''Strom und Gegenstrom'' aufgebaut wurde. In welche Ornamentklasse fällt eine solche Parkettierung im Allgemeinen? Welche anderen Klassen können durch zusätzliche Besonderheiten der Kachel angenommen werden?
Eine andere Parkettstein-Klasse wird folgendermaßen beschrieben:
Drehe die willkürliche Linie AB in A um 90° in die Lage AC. D ist der vierte Punkt des Quadrates ABDC. Wähle eine zweite willkürliche Linie CD und drehe sie in D um 90° in die Lage DB.
Welches Beispiel findest du dafür im Modul?
In welche Ornamentklasse fällt eine mit diesem Stein aufgebaute Parkettierung, falls es keine zusätzlichen Besonderheiten gibt?

Aufgabe 9

Nur für Studenten: Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Hintereinanderausführung zweier Transformationen aus der Menge der 10 Symmetrietransformationen der idealisierten Apfelblüte (siehe Unterseite zu Seite 10). Bestimme eine Teilmenge von möglichst wenig Transformationen aus dieser Menge, die bereits die ganze Menge erzeugen.

Aufgabe 10

Nur für Studenten und außerdem schwierig: Mache die Kristallographische Beschränkung plausibel (siehe Seite 10). Ein Tipp: Bei falschen Winkeln wird die Bedingung verletzt, dass es einen minimalen Verschiebungsbetrag geben muss.

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Bisher...

Verschiebungen

Die Parkettierungen wurden durch zwei voneinander unabhängige möglichst kleine Verschiebungen (Translationen) erzeugt, die die Kopien der Ursprungskachel an passende Positionen des Parketts bewegt haben. Mehr als zwei Verschiebungen werden auch nie gebraucht, denn von der Kopie der Kachel aus kommt man mit denselben Verschiebungen zu den nächsten Nachbarn.

Das lässt sich durch zwei Pfeile (Vektoren) $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ beschreiben.

...jetzt mehr!

Wenn man außer Verschiebungen auch andere geometrische Operationen wie Drehungen und Spiegelungen zulässt, um aus einer Kachel die Parkettierung aufzubauen, können die Ergebnisse durch Symmetrien noch ansprechender werden. Die nächste Kachelmaschine führt derartige Operationen automatisch aus.

Erzeuge Parkettierungen, die Maschine führt automatisch geometrische Operationen der genannten Art aus. Du kannst nur die blauen Punkte verschieben.

Zeitlupe

Kannst du ergründen,

nach welchem System die Maschine die Kachel formt?
welche Operationen mit den Kopien ausgeführt werden?

Verzwickt?

Das ist sicher nicht ganz so leicht zu beantworten. Achte auf die Streifenverläufe. Probiere einmal eine Fisch- oder Pfeilform aus. Wenn du Ideen hast, rücke zur nächsten Seite vor. Falls dir gar nichts einfällt, sieh dir (noch) einmal die Unterseite zu den Drehungen an.