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Prüfziffernverfahren

Prüfziffernverfahren

Beweis

Einführung

Eine GTIN habe die allgemeine Form \(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}p\).
Die \(a_{i}\) und \(p\) (die Prüfziffer) können beliebige Ziffern aus dem Bereich 0,1,...,9 darstellen.

Betrachte die GTIN 4388440065725. Welche Ziffer entspricht...
a) \(a_{3}\)?  
b) \(a_{9}\)?  
c) \(p\)?  

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Satz

Der Drehfehler fällt bei der GTIN-13 genau dann nicht auf, wenn sich die beiden vertauschten Ziffern um genau 5 unterscheiden.

Beweis

Vorüberlegungen
Vergleich der Quersummen
Wenn der Ziffernabstand 5 beträgt...


Die GTIN habe die allgemeine Form \(a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}p\), wobei \(a_{i}, p\in {0,1,2,...,9}\) sind. \(p\) ist die Prüfziffer.

Wenn die GTIN korrekt ist, dann ist

\(1\cdot a_{1}+3\cdot a_{2}+1\cdot a_{3}+3\cdot a_{4}+1\cdot a_{5}+3\cdot a_{6}+1\cdot a_{7}+3\cdot a_{8}+1\cdot a_{9}+3\cdot a_{10}+1\cdot a_{11}+3\cdot a_{12}+1\cdot p\)

durch 10 teilbar.

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Angenommen, jemand macht einen Drehfehler. Er vertauscht also zwei benachbarte Ziffern \(a_{i}\) und \(a_{i+1}\), die nicht gleich sind. In der richtigen GTIN gehöre zu \(a_{i}\) der Faktor 1 und zu \(a_{i+1}\) der Faktor 3. Die entsprechenden Anteile zur 'richtigen' Quersumme \(S\) bzw. zur 'falschen' Quersumme \(S'\) lauten dann

\(S=...+1\cdot a_{i}+3\cdot a_{i+1}+...\)
\(S'=...+1\cdot a_{i+1}+3\cdot a_{i}+...\)

\(S'\) unterscheidet sich also von \(S\) nur um
\(1\cdot a_{i}+3\cdot a_{i+1}-(1\cdot a_{i+1}+3\cdot a_{i})=2\cdot a_{i+1}-2\cdot a_{i}=2\cdot (a_{i+1}-a_{i})\)
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Der Drehfehler fällt genau dann nicht auf, wenn \(S'\) ebenfalls durch 10 teilbar ist. Dafür muss \(2\cdot (a_{i+1}-a_{i})\) ein Vielfaches von 10 sein. Es gilt:
i) \(0\leq a_{i}, a_{i+1}\leq9 \Rightarrow -9\leq a_{i+1}-a_{i}\leq 9\)
ii) \(a_{i}\neq a_{i+1} \Rightarrow a_{i+1}-a_{i}\neq 0\)

Daher ist \(0<\left|2\cdot (a_{i+1}-a_{i})\right|\leq 18. \) Nur dann, wenn \(\left|a_{i+1}-a_{i}\right|=5\) ist, die beiden Ziffern sich also um genau 5 unterscheiden, ist \(\left|2\cdot (a_{i+1}-a_{i})\right|=10\) und \(S'\) ebenfalls durch 10 teilbar.
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