Harmonische Schwingung

letzter Fall:
der bisherige Ansatz reicht nicht aus

3. Fall: $(k/2)^2 - \omega^2 = 0$

In diesem Spezialfall besitzt die quadratische Gleichung

$z^2 + k \cdot z + \omega^2 = 0$

nur eine Lösung $z_1 = z_2 = -(k/2)$ . Unser Ansatz $y(t) = e^{z \cdot t}$ liefert diesmal also nur eine Funktion, nämlich $y_1(t) = e^{z_1 \cdot t}$ .

Wir zeigen jetzt, dass als zweite Funktion für ein Fundamentalsystem die Funktion

$y_2(t) = t \cdot e^{z_1 \cdot t}$

genommen werden kann.

das dritte Fundamentalsystem

Die beiden Funktionen $y_1(t) = e^{z_1 \cdot t}, \; y_2(t) = t \cdot e^{z_1 \cdot t}$ bilden ein Fundamentalsystem, jede Lösung der Differentialgleichung

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

ergibt sich als Linearkombination.

Stelle wieder verschiedene Linearkombinationen ein.
Finde auch wieder $\alpha_1$ und $\alpha_2$ so, dass $y(0)=1, \; y^{\prime}(0)=0$ gilt.

= , =
Die Funktionen
,
bilden also ein Fundamentalsystem. Jede Lösung besitzt die Gestalt