Harmonische Schwingung

Wir wollen jetzt die Lösungen der Bewegungsgleichung

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

mathematisch bestimmen.

Linearität

Wir halten zuerst zwei wichtige Eigenschaften von Lösungen fest.

erste Eigenschaft

Ist $y(t)$ eine Lösung der Differentialgleichung und $\alpha$ eine Zahl, so ist auch $\alpha \cdot y(t)$ Lösung der Differentialgleichung.

Beweis

zweite Eigenschaft

Mit $y_1(t)$ und $y_2(t)$ ist auch die Summe $y_1(t) + y_2(t)$ Lösung der Differentialgleichung.

Beweis

Wegen dieser beiden Eigenschaften heißt die Differentialgleichung linear.

Aus der Linearität der Differentialgleichung folgt das Superpositionsprinzip:

strukturelle Aussage: Superposition

Sind $y_1(t), y_2(t), ..., y_n(t)$ Lösungen der Differentialgleichung und sind $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n,$ Zahlen, so ist auch die Linearkombination

$\alpha_1 \cdot y_1(t) + \alpha_2 \cdot y_2(t) + \cdots +\alpha_n \cdot y_n(t)$

Lösung der Differentialgleichung.