Standortoptimierung | MathePrisma

Standortoptmierung

- Was ist das?

Alle bisher genannten Beispiele und Aufgaben haben etwas gemeinsam; sie gehören zu Problemen der Standortoptimierung. Diese beschäftigt sich mit Problemen, bei denen unter Berücksichtigung bereits existierender Standorte ein neuer, optimaler Standpunkt ermittelt werden soll.

Innerhalb der Standortoptimierung gibt es viele verschiedende Problemklassifikationen. Dieses Modul konzentriert sich auf diejenigen Probleme, die:

nur einen neuen Standort suchen.
sowohl die existierenden, als auch die neuen Standorte durch Koordinaten in der Ebene gegeben haben.
euklidische Entfernungen als Entfernungsmessung benutzen.
ihre Zielfunktion als gewichtete Summe der Einzelentfernungen darstellen.

Derartige Probleme werden allgemein als Median-Standortprobleme mit euklidischer Entfernung bezeichnet.

Die mathematische Problemformulierung:

Damit die folgenden mathematischen Ausdrücke besser verständlich sind, rufen wir uns das Beispiel von Seite 3 nochmal ins Gedächtnis:

Wie lauten die allgemeinen Bezeichnungen?

Fahre mit der Maus über das Bild!

	Allgemeine Formulierung	Konkretes Beispiel
	Gesucht:	Gesucht:
	Standort des neuen Proberaums, welcher mit $X = (x_1 , x_2)$ beschrieben wird.	Optimaler Punkt D, welcher in der mathematischen Formulierung dem Punkt $X=(x_1 , x_2)$ entspricht. $D=(5.9,3.6)$

	Gegeben:	Gegeben:
	Standorte der beteiligten Schulen $Ex_m = (a_{m1} , a_{m2})$ als Punkte in einem Koordinatensystem mit: $a_{m1:}$ x-Koordinate der m-ten Schule $a_{m2:}$ y-Koordinate der m-ten Schule	Standorte der Schulen A, B und C mit: $Ex_1 = A = (2,2)$ $Ex_2 = B = (6,4)$ $Ex_3 = C = (8,2)$

	$M:$ Anzahl der beteiligten Schulen	$M=3$ beteiligte Schulen

	$d( Ex_m, X):$ Distanz zwischen dem m-ten Schulstandort und dem Standort des neuen Proberaums	Abstand zwischen den einzelnen Schulstandorten und dem Punkt D: $d_1= d(Ex_1,X) = \sqrt{(2 - 5.9)^2 + (2 - 3.6)^2} = 4.2$ $d_2 = d(Ex_2,X) = \sqrt{(6 - 5.9)^2 + (4 - 3.6)^2} = 0.4$ $d_3= d(Ex_3,X) = \sqrt{(8 - 5.9)^2 + ( 2 - 3.6)^2} = 2.6$

	$v_m:$ Gewichtung des m-ten Standorts	$v_1 = v_2 = v_3$ jeweils gleichviele Schüler von jeder Schule

	Zielfunktion	Zielfunktion
	$\min_{X} ~{f(X) := \sum_{m=1} ^M v_m * d(Ex_m,X)}$ Die Median-Zielfunktion beschreibt somit das Minimum der Summe aller Einzelentfernungen zwischen den Standorten der beteiligten Schulen und dem Standort des neuen Proberaums.	$min_{X} ~{f(X) := \sum_{m=1} ^M v_m * d(Ex_m,X)}$ Dieses Minimum ist in unserem Fall $d_1 + d_2 + d_3 = 7.3$ .

Abstand