Diskrete Verteilung | MathePrisma

Verallgemeinerung

Man wendet die hypergeometrische Verteilung an, wenn

aus einer N elementigen Menge,
bei der K Elemente für den Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" stehen
und entsprechend (N-K) Elemente für den Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg",
eine Stichprobe von n Elementen entnommen wird,
und man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen möchte, dass sich unter diesen n Elementen
k-mal der Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" einstellt
und entsprechend (n-k)-mal der Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg".

Dabei berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für k-mal Versuchsausgang "1" und entsprechend (n-k)-mal Versuchsausgang "0" als
$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}K\\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}N-K\\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\ n \end{pmatrix}}$ .

Die Hypergeometrische Verteilung ist also eine Abbildung, die jeder Anzahl von Versuchausgängen "1" eine Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von den Parametern n und N und K zuordnet.

"Wackle" an den Parametern N, K und n der hypergeometrischen Verteilung!

Unten kannst du durch Klicken auf die Klapplistenfelder " N=...", K=...", " n=..." ein wenig mit den Parametern spielen und beobachten, welchen Einfluss das auf die resultierende hypergeometrische Verteilung hat.

Die nächste Aufgabe und das folgende Kapitel machen noch einmal den Unterschied zwischen abhängigen und unabhängigen Versuchswiederholungen klar:

Stell dir vor, J.W. steht nach seiner nächtlichen Zechtour zufällig vor seinem eigenen Apartment.
Er hat einen Schlüsselbund mit zehn Schlüsseln, von denen aber nur einer passt. Außerdem ist er nicht mehr in der Lage, die einzelnen Schlüssel zu unterscheiden. Er probiert die Schlüssel systematisch nacheinander durch (kein Schlüssel wird zweimal ausprobiert).

Antwort eingeben, dann "Kontrolle" drücken!

Lösung

	bei der K Elemente für den Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" stehen
	und entsprechend (N-K) Elemente für den Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg",

	k-mal der Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" einstellt
	und entsprechend (n-k)-mal der Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg".

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?