Diskrete Verteilung | MathePrisma

Stell dir vor, J.W. steht wie am Ende des letzten Kapitels beschrieben nachts vor seiner Haustür. Jetzt geht er aber nach einer anderen Methode vor. Er probiert einen Schlüssel, und wenn dieser nicht passt, schüttelt er den Schlüsselbund und probiert es von neuem mit irgendeinem der zehn Schlüssel.

Um genau beim 6. Versuch erfolgreich zu sein, müssen die ersten fünf Versuche erfolglos und der sechste Versuch erfolgreich sein.

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:

$\displaystyle \bigl(1-\frac{1}{10} \bigr)^5 \cdot \frac{1}{10} \approx 0.059049 \approx 0.06$
Man beachte, dass hier kein Binomialkoeffizient auftaucht. Es gibt nämlich nur eine einzige Möglichkeit dafür, genau beim sechsten Versuch erstmals erfolgreich zu sein.

geometrisch verteilt

Allgemein berechnet man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei einer Folge von nacheinander durchgeführten Bernoulli-Versuchen genau beim k-ten Versuch zum ersten Mal ein "Erfolg" einstellt (die vorhergehenden Versuche sind dann "Misserfolge") mit:

$(1-p)^{k-1} \cdot p$

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?