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Diskrete Verteilung

Diskrete Verteilung

Poissonverteilung


Simeon Denis Poisson 1781-1840

Die am gleichen Tisch sitzende Mathematikerin Emmy N. sagt:


Emmy Noether
1882 - 1935 		    "Die Wahrscheinlichkeit für 0, 1, 2,..., 1000 "Erfolge", also dafür, dass er mit seinen Anrufen 0, 1, 2,..., 1000-mal bei 1000 Versuchen einen seiner Bekannten erreicht, können wir auch berechnen!

Eigentlich müssten wir dazu die Binomialverteilung verwenden.
Da in unserem Fall
  • die Anzahl der Versuche mit n=1000 relativ hoch
  • und die Wahrscheinlichkeit für einen "Erfolg" mit p=100/10000=0.01 relativ klein ist (es gibt 10000 Telefonnummern, aber nur 100 davon gehören Bekannten),
können wir hier näherungsweise die Poissonverteilung benutzen."

Sie erklärt:

poissonverteilt

Die Poissonverteilung wendet man an, wenn sich die Wahrscheinlichkeit für k "Erfolge" bei einem Zufallsversuch als

\(\displaystyle e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k \in \mathbb{N}_0\)

berechnet.
Die Poissonverteilung hat nur einen einzigen Parameter \(\lambda\), der gleich dem Erwartungswert (erwarteter Mittelwert) für die Gesamtzahl der "Erfolge" ist.

Sie erklärt weiter:

Poissonverteilung als Grenzfall der Binomialverteilung

Als Grenzfall einer Binomialverteilung ergibt sich die Poissonverteilung, wenn man

  • den Parameter n gegen unendlich
  • und den Parameter p gegen 0
gehen lässt, wobei das Produkt n\(\cdot\)p konstant bleibt.

Die Poissonverteilung gibt damit näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für eine Gesamtzahl von k "Erfolgen" an, wenn man eine große Anzahl von Bernoulli-Versuchen durchführt, bei denen die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sehr gering ist.

Die Poissonverteilung hat dann den Parameter \(\lambda = n \cdot p\), der gleich dem Erwartungswert für die Gesamtzahl der "Erfolge" ist.

Dabei entspricht die Wahrscheinlichkeit für genau k "Erfolge":

\(\displaystyle e^{- \lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, \quad k \in \mathbb{N}_0\).

Bitte beachten:
Bei der Binomialverteilung mit den Parametern n und p ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als n "Erfolge" exakt Null. Bei der Poissonverteilung ist die Wahrscheinlichkeit für beliebig viele "Erfolge" zwar sehr nahe bei Null, bleibt aber positiv. Erst im Grenzfall für n gegen Unendlich geht der Exponentialterm gegen Null.