Diskrete Verteilung

Lösung

Einleitung

Binomial

Hypergeometrisch

Geometrisch

Poisson

Epilog

Arbeitsblatt

Aufgabe 1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

bei 60 Würfen genau 10 mal die 1 und
bei 120 Würfen genau 20 mal die 1

zu werfen?

Aufgabe 2

Stelle dir vor, die Chance, in einer Nacht wenigstens eine Sternschnuppe zu beobachten, betrage 60%.

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

Aufgabe 3

Über 20 Jahre hinweg wurde in zehn preußischen Kavallerieregimentern die Anzahl der durch Hufschlag von einem Pferd getöteten Soldaten beobachtet.

So erhielt man 200 Zahlen, von denen jede für die Anzahl der in einem bestimmten Jahr und Regiment auf diese doch recht exotische Art umgekommenen Soldaten steht.

Die folgende Tabelle gibt diese Daten wieder:

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

Also: 109 Mal gab es keine Toten, 65 Mal einen Toten etc.

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?

Aufgabe 4

Satellitenfotos des Iraks ergeben, dass an zwanzig verschiedenen Stellen Grabanlagen der Assyrer unter der Erde versteckt liegen.
Aus alten Quellen weiss man, dass in fünf dieser Grabanlagen große archäologische Schätze versteckt liegen (die anderen wurden bereits von Grabräubern ausgeplündert), man weiss aber nicht in welchen.
Leider steht nur Geld für acht Ausgrabungen zur Verfügung.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Schätze gefunden werden?

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Lösung

Eines von den beiden Ereignissen "mindestens einmal wird ein Bekannter erreicht" oder "kein Mal wird ein Bekannter erreicht" wird mit Sicherheit eintreffen.
Außerdem schließen sich beide Ereignisse gegenseitig aus, d.h. entweder das erste oder das zweite Ereignis tritt ein, aber sie können nicht beide gleichzeitig eintreten (sie sind disjunkte Ereignisse).

Also ist die

Wahrscheinlichkeit("mindestens einmal getroffen") + Wahrscheinlichkeit("kein Mal getroffen")
= 1

Daraus folgt durch einfache Umformung:

Wahrscheinlichkeit("mindestens einmal getroffen")
= 1-Wahrscheinlichkeit("kein Mal getroffen")
$\approx 1 - 0.0000454$
$= 0.9999546$

D.h. die Chance mindestens einmal zu treffen ist recht groß.