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Diskrete Verteilung

Diskrete Verteilung

Binomialverteilung

Um beispielsweise an einem Abend bei Ken mit der Hausnummer 6 zu landen, muss J.W. insgesamt sechs Mal nach rechts (aber nicht unbedingt direkt hintereinander) und insgesamt ein Mal nach links gehen.

  • Angenommen, er geht z.B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% also p=0.6 an einer Häuserecke nach rechts,

  • dann geht er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 0.6 = 0.4 an einer Häuserecke nach links.
Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Weg (sechs Mal nach rechts, ein Mal nach links) ist also

0.6 . 0.6 . 0.6 . 0.6 . 0.6 . 0.6 . 0.4  = 0.66. 0.4.

Jetzt gibt es aber nicht nur einen möglichen Weg zu Ken, sondern sieben solcher Wege, die alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben:

 Klicke auf die schwarzen Pfeile!


 
letzter Weg         nächster Weg

Also ist die Wahrscheinlichkeit, bei Ken zu landen, in unserem Beispiel nicht nur
0.66. 0.4 (die Wahrscheinlichkeit für einen Weg, der zu Ken führt), sondern
7·0.66. 0.4  (es gibt sieben solcher Wege).

Merke

Die Gesamtwahrscheinlichkeit "an einem bestimmten Haus zu landen", ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit für einen dieser Wege multipliziert mit der Gesamtzahl der möglichen Wege.

Löse dich jetzt von diesem speziellen Beispiel.

Unten kannst du wieder die Wahrscheinlichkeit p für "rechts" einstellen.

  • Verfolge dann einen Heimweg von Johnny.
  • Du siehst dann, wie groß die Wahrscheinlichkeit für diesen speziellen Weg ist.
  • Du siehst danach, wieviele andere mögliche Wege zum selben Haus führen.
Geh so viele Beispiele durch, bis dir das Prinzip der Wahrscheinlichkeit bei einem Haus zu landen klar ist:


Berechnung der Wegeanzahl unklar? Kombinatoriklogo anklicken!

Wir verallgemeinern jetzt und stellen uns vor:

  • ein Betrunkener torkelt an n Häuserecken
  • mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts (im Beispiel war n=7).
  • Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass er an einer Häuserecke nach links torkelt 1 - p.
Der Betrunkene kann dann bei n+1 Häusern mit den Hausnummern 0 bis n landen.
  • Um zur Hausnummer k zu gelangen,
  • muss der Betrunkene insgesamt k Mal nach rechts gehen.
  • Es gibt \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) Möglichkeiten, k Mal nach rechts und damit n-k Mal nach links zu gehen.
(Wem das nicht klar ist, der arbeite bitte das Kombinatorik-Modul durch).

binomialverteilt

Wahrscheinlichkeit für k "Erfolge"

Also ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt genau k Mal nach rechts zu gehen und so bei der Hausnummer k zu landen:

\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)