Diskrete Verteilung | MathePrisma

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wir möchten nun die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Versuchsausgänge miteinander vergleichen.

Man wendet die Binomialverteilung an, wenn

n voneinander unabhängige sogenannte Bernoulli-Versuche durchgeführt werden,
und man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen möchte, dass sich bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen
k-mal der Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" einstellt
und entsprechend (n-k)-mal der Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg".

Dabei berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für k-mal Versuchsausgang "1" und entsprechend
(n-k)-mal Versuchsausgang "0" als

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ .

Die Binomialverteilung ist also eine Abbildung, die jeder Anzahl von Versuchsausgängen "1" eine Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von den beiden Parametern n und p zuordnet.

"Wackle" an den Parametern n und p der Binomialverteilung!

Unten kannst du durch Klicken auf die Klapplistenfelder " p=... ", " n=..." ein wenig mit den Parametern n und p der Binomialverteilung spielen und beobachten, welchen Einfluss das auf die resultierende Binomialverteilung hat.

	k-mal der Versuchsausgang "1" bzw. "Erfolg" einstellt
	und entsprechend (n-k)-mal der Versuchsausgang "0" bzw. "Misserfolg".

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?