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Diskrete Verteilung

Diskrete Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Was hat das mit der "hypergeometrischen Verteilung" zu tun?

Stell dir nun vor, dass wir die Urnenziehung wiederholen, ohne aber die jeweils gezogene Kugel zurückzulegen. Jetzt wird das Ergebnis einer Ziehung sehr wohl von den Resultaten der vorhergehenden Züge beeinflusst.

  • Wenn du beispielsweise im 1.Zug "blau" gezogen hast,
    so ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" im 2. Zug nur noch
    (60-1)/(100-1) = 59/99.
  • Hast du hingegen im 1.Zug "grün" gezogen,
    so beträgt die Wahrscheinlichkeit für "blau" im 2. Zug
    60/(100-1) = 60/99.
Die Ergebnisse aufeinanderfolgender Züge sind nicht mehr voneinander unabhängig!

Wie berechnet man denn jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Ziehen von zehn Kugeln genau vier blaue Kugeln gezogen werden?
Hier benutzt man die hypergeometrische Verteilung:

So rechnet man, wenn Kugeln nicht zurückgelegt werden.

Klicke auf die Pfeile!



Berechnung der Anzahl Möglichkeiten unklar? Kombinatoriklogo anklicken!

Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 blaue Kugeln (also die Kugeln mit der "gewünschten" Eigenschaft) aus den 60 blauen Kugeln insgesamt herauszuziehen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, 10 - 4 = 6 nicht-blaue Kugeln aus den 100 - 60 = 40 in der Urne insgesamt vorhandenen nicht-blauen Kugeln herauszuziehen.
Multipliziert man diese beiden Werte miteinander, so ergibt sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten,
genau 4 blaue Kugeln aus den 60 blauen Kugeln zu ziehen
und gleichzeitig 6 aus den insgesamt 40 nicht-blauen Kugeln zu ziehen.
Teilt man noch durch die Zahl der überhaupt bestehenden Möglichkeiten, zehn beliebige Kugeln aus 100 Kugeln zu ziehen, so erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Wir verallgemeinern jetzt und führen folgende Bezeichnungen ein:

  • Wir bezeichnen nun die Gesamtzahl der in der Urne vorhandenen Kugeln mit N,
  • die Anzahl der in der Urne vorhandenen Kugeln mit der "gewünschten" Eigenschaft als K
  • und wieder mit n die Anzahl der Ziehungen aus der Urne.

hypergeometrisch verteilt

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, genau k Kugeln mit der "gewünschten" Eigenschaft bei n-maligem Ziehen ohne Zurücklegen zu erhalten (also k "Erfolge")

\(\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}K\\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}N-K\\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\ n \end{pmatrix}}\)

Zu beachten

  • N - K  ist die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne, die nicht die "gewünschte" Eigenschaft haben.
    K kann nicht größer als N sein!
  • n - k  ist die Anzahl der gezogenen Kugeln, die nicht die "gewünschte" Eigenschaft haben.
    k kann nicht größer als n sein !

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